Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025
Matemática›Aritmética e Problemas
Código
vu114073
Banca
VUNESP
Órgão
Câmara de Tatuí - SP
Ano
2025
Nível
Superior
Luzia precisa embalar em caixas uma quantidade maior do que 170 e menor do que 260 bolinhas idênticas, de maneira que cada caixa tenha o mesmo número de bolinhas e que seja ocupada com o máximo de bolinhas possível. Ela tentou embalar em caixas que cabiam 9 bolinhas, mas sobraram 5. Tentou em caixas que cabiam 12 bolinhas, mas também sobraram 5. Finalmente, tentou em caixas que cabiam 13, todas as caixas ficaram completas e sem sobra de bolinhas.O número de caixas em que cabem 13 bolinhas que foram necessárias para embalar todas as bolinhas é igual a
A15.
B16.
C17.
D18.
E20.
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GabaritoC — 17.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 17 caixas (alternativa C).
A ideia por trás
Quando dividimos um número por outro, o resto é o que sobra. Neste problema, o total de bolinhas deixa o mesmo resto (5) ao ser dividido por 9 e por 12, e é divisível por 13. Números que deixam o mesmo resto ao serem divididos por dois valores podem ser escritos como um múltiplo do mínimo múltiplo comum (mmc) desses valores mais o resto. O mmc de 9 e 12 é 36, então o total é da forma 36k + 5. Precisamos encontrar o valor de k que faz o total ficar entre 170 e 260 e também ser múltiplo de 13. Depois, dividimos o total por 13 para achar o número de caixas.
O que a questão dá
quantidade de bolinhas entre 170 e 260
resto 5 ao dividir por 9
resto 5 ao dividir por 12
divisível por 13
O que queremos: o número de caixas de 13 bolinhas necessárias
Passo 1 — Calcular o mmc de 9 e 12
Como o resto é o mesmo (5) para 9 e 12, o total de bolinhas pode ser escrito como um múltiplo do mínimo múltiplo comum (mmc) desses números mais o resto. O mmc é o menor número que é múltiplo de ambos, e aqui ele define o padrão de repetição dos números que deixam resto 5.
Por que esta fórmula: O mmc de dois números é o menor múltiplo comum entre eles. Para 9 e 12, os múltiplos de 9 são 9, 18, 27, 36, ... e os de 12 são 12, 24, 36, ... O primeiro comum é 36.
De onde vem cada valor: = enunciado: caixas que cabiam 9 bolinhas · = enunciado: caixas que cabiam 12 bolinhas
NÃO CAIA NESSA!
Usar o produto 9 × 12 = 108 em vez do mmc, o que daria candidatos errados.
Passo 2 — Escrever o total como 36k + 5
Com o mmc em mãos, sabemos que qualquer número que deixa resto 5 ao ser dividido por 9 e por 12 é da forma 36k + 5, onde k é um inteiro. Isso porque 36 é o menor número que é múltiplo de ambos, então somar 5 garante o resto 5.
Por que esta fórmula: Se um número N deixa resto r ao ser dividido por a e por b, então N = mmc(a,b)·k + r. Aqui r = 5, então N = 36k + 5.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: sobraram 5 bolinhas
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar o resto 5, usando apenas múltiplos de 36.
Passo 3 — Encontrar k que deixa N entre 170 e 260
O total de bolinhas está entre 170 e 260. Precisamos testar valores de k que façam 36k + 5 cair nesse intervalo, para depois verificar a divisibilidade por 13.
Por que esta fórmula: Resolvemos as desigualdades 170 < 36k + 5 < 260 para achar os possíveis k. Subtraindo 5 e dividindo por 36, obtemos k entre aproximadamente 4,58 e 7,08, então k pode ser 5, 6 ou 7.
De onde vem cada valor: = enunciado: maior do que 170 · = enunciado: menor do que 260 · = passo 1 · = passo 2
NÃO CAIA NESSA!
Testar apenas um valor de k sem verificar todos os possíveis.
Passo 4 — Testar os candidatos e achar N = 221
Agora calculamos N para cada k possível e verificamos se é divisível por 13. O único que satisfaz é k = 6, dando N = 221.
Por que esta fórmula: Para cada k, calculamos N = 36k + 5 e dividimos por 13. Se o resultado for inteiro, o número serve.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 2 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Parar no primeiro candidato (185) sem verificar a divisibilidade por 13.
Passo 5 — Dividir o total por 13
Com o total de bolinhas encontrado, o número de caixas de 13 é simplesmente a divisão do total pela capacidade de cada caixa.
Por que esta fórmula: Se cada caixa comporta 13 bolinhas e há 221 bolinhas, o número de caixas é 221 ÷ 13.
De onde vem cada valor: = passo 4: 221 · = enunciado: caixas que cabiam 13 bolinhas