Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu114130

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 26,2 m (alternativa C).

A ideia por trás

O perímetro é a medida do contorno de uma figura plana: para um retângulo, é a soma dos quatro lados, ou seja, o dobro da soma da largura com o comprimento. A área, por outro lado, mede a superfície interna: para um quadrado é lado ao quadrado, e para um retângulo é largura vezes comprimento. Neste problema, a relação entre as áreas (o retângulo tem o dobro da área do quadrado) permite montar uma equação que revela o lado original do quadrado. A partir daí, calculam-se as dimensões do retângulo e, por fim, o perímetro. O ponto central é traduzir corretamente os aumentos percentuais e lineares em expressões algébricas e usar a igualdade das áreas para encontrar o valor de x.

O que a questão dá

primeira versão: quadrado de lado x
segunda versão: retângulo com área igual ao dobro da área do quadrado
largura do retângulo = lado do quadrado + 0,5 m
comprimento do retângulo = lado do quadrado + 80% do lado

O que queremos: o perímetro da sala na segunda versão (retângulo)

Passo 1 — Expressar as dimensões do retângulo em função de x

Precisamos traduzir as informações do enunciado em linguagem matemática. Chamando de x o lado do quadrado original, a largura do retângulo é x + 0,5 (aumento de 0,5 m) e o comprimento é x + 0,8x = 1,8x (aumento de 80%). Isso nos dá as expressões que serão usadas na equação da área.

Por que esta fórmula: Aumentar um valor em 80% significa somar 80% do próprio valor: x + 0,8x = 1,8x. Já o aumento de 0,5 m é uma soma direta: x + 0,5.

L = x + 0{,}5, \quad C = 1{,}8x

De onde vem cada valor: $x$ = enunciado: lado do quadrado original (incógnita) · $0{,}5$ = enunciado: aumento de 0,5 m na largura · $1{,}8$ = enunciado: aumento de 80% no comprimento (1 + 0,8)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 80% de aumento significa multiplicar por 1,8, e não por 0,8.

Passo 2 — Montar a equação da área dobrada

O enunciado diz que a área do retângulo é o dobro da área do quadrado. Isso nos dá uma igualdade que relaciona x com as dimensões, permitindo encontrar o valor de x.

Por que esta fórmula: A área do quadrado é x², a área do retângulo é largura × comprimento = (x+0,5)·1,8x. Igualando a área do retângulo ao dobro da área do quadrado, temos a equação.

(x + 0{,}5) \cdot 1{,}8x = 2x^{2}

De onde vem cada valor: $x + 0{,}5$ = passo 1: largura do retângulo · $1{,}8x$ = passo 1: comprimento do retângulo · $2x^{2}$ = enunciado: área do retângulo é o dobro da área do quadrado (x²)

(x + 0{,}5) \cdot 1{,}8x = 2x^{2}

NÃO CAIA NESSA!

Montar a equação como (x+0,5)·1,8x = x², esquecendo o fator 2.

Passo 3 — Expandir e simplificar a equação

Para resolver a equação, precisamos expandir o produto e rearranjar os termos, isolando x. Isso transforma a equação em uma forma mais simples.

Por que esta fórmula: Expandindo (x+0,5)·1,8x, obtemos 1,8x² + 0,9x. Igualando a 2x², podemos subtrair 1,8x² de ambos os lados para obter 0,9x = 0,2x².

1{,}8x^{2} + 0{,}9x = 2x^{2} \Rightarrow 0{,}9x = 0{,}2x^{2}

De onde vem cada valor: $1{,}8x^{2}$ = passo 2: produto de 1,8x por x · $0{,}9x$ = passo 2: produto de 1,8x por 0,5 · $2x^{2}$ = passo 2: lado direito da equação

1{,}8x^{2} + 0{,}9x = 2x^{2}

NÃO CAIA NESSA!

Errar a expansão: (x+0,5)·1,8x = 1,8x² + 0,9x, e não 1,8x² + 0,5x.

Passo 4 — Resolver a equação para x

Com a equação simplificada, podemos isolar x. Como x é o lado do quadrado, deve ser positivo, então podemos dividir por x sem problemas.

Por que esta fórmula: Temos 0,9x = 0,2x². Dividindo ambos os lados por 0,1x (ou por x e depois por 0,1), obtemos 9 = 2x, e então x = 4,5.

0{,}9x = 0{,}2x^{2} \Rightarrow \frac{0{,}9}{0{,}2} = x \Rightarrow x = 4{,}5

De onde vem cada valor: $0{,}9x$ = passo 3: termo da esquerda · $0{,}2x^{2}$ = passo 3: termo da direita

0{,}9 \cdot 4{,}5 = 0{,}2 \cdot (4{,}5)^{2}

x = \boxed{4{,}5\ \text{m}}

NÃO CAIA NESSA!

Dividir por x sem considerar que x pode ser zero, mas aqui x é positivo (lado de um quadrado).

Passo 5 — Calcular as dimensões do retângulo

Com o valor de x, podemos substituir nas expressões do passo 1 para obter a largura e o comprimento reais do retângulo.

Por que esta fórmula: Largura = x + 0,5 e comprimento = 1,8x. Substituindo x = 4,5, temos 5,0 m e 8,1 m.

L = 4{,}5 + 0{,}5 = 5{,}0, \quad C = 1{,}8 \times 4{,}5 = 8{,}1

De onde vem cada valor: $4{,}5$ = passo 4: valor de x · $0{,}5$ = enunciado: aumento de 0,5 m · $1{,}8$ = enunciado: aumento de 80%

L = 4{,}5 + 0{,}5 = 5{,}0, \quad C = 1{,}8 \times 4{,}5 = 8{,}1

largura = 5,0 m, comprimento = 8,1 m

NÃO CAIA NESSA!

Usar x = 4,5 como largura ou comprimento, esquecendo de aplicar os aumentos.

Passo 6 — Calcular o perímetro do retângulo

O perímetro é a soma de todos os lados. Para um retângulo, isso é o dobro da soma da largura com o comprimento. Com as dimensões conhecidas, basta aplicar a fórmula.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é P = 2·(L + C), pois há dois lados de cada medida. Substituindo L = 5,0 e C = 8,1, obtemos P = 2·13,1 = 26,2 m.

P = 2 \times (L + C)

De onde vem cada valor: $L$ = passo 5: largura = 5,0 m · $C$ = passo 5: comprimento = 8,1 m

P = 2 \times (5{,}0 + 8{,}1) = 2 \times 13{,}1 = 26{,}2 = \boxed{26{,}2\ \text{m}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 e marcar 13,1 m (alternativa A).

Resposta: 26,2 m (alternativa C)

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Expressar as dimensões do retângulo em função de x

Passo 2 — Montar a equação da área dobrada

Passo 3 — Expandir e simplificar a equação

Passo 4 — Resolver a equação para x

Passo 5 — Calcular as dimensões do retângulo

Passo 6 — Calcular o perímetro do retângulo