Em um armário com medicamentos, havia 5 caixas do medicamento X, 4 do medicamento Y e 3 do medicamento Z, totalizando 143 gramas de medicamento no interior do armário. No início do expediente, foram retiradas, desse armário, 2 caixas do medicamento X e 2 do medicamento Y, passando com isso a haver 99 gramas de medicamento no interior do armário. Algum tempo depois disso, foram retiradas 1 caixa do medicamento X, 1 do medicamento Y e 1 do medicamento Z, e assim, restaram 62 gramas de medicamento no interior do armário.A massa de medicamento de cada caixa do medicamento Z é, então, igual a
A16 gramas.
B15 gramas.
C14 gramas.
D12 gramas.
E10 gramas.
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GabaritoB — 15 gramas.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 15 gramas (alternativa B).
A ideia por trás
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações que compartilham as mesmas incógnitas; aqui, as incógnitas são as massas de cada caixa. Cada situação descrita no enunciado (estado inicial, após a primeira retirada, após a segunda) fornece uma equação, pois a massa total é a soma das massas das caixas presentes. A relação central é que a massa total é a soma das contribuições de cada caixa: massa total = (número de caixas de X) × (massa de X) + (número de caixas de Y) × (massa de Y) + (número de caixas de Z) × (massa de Z). Quando uma variável aumenta, o total aumenta proporcionalmente; quando diminui, o total diminui. Nesta questão, montamos três equações e resolvemos por eliminação, subtraindo equações para reduzir o número de incógnitas até achar z.
O que a questão dá
5 caixas de X, 4 de Y, 3 de Z = 143 g
após retirar 2X e 2Y: 3X, 2Y, 3Z = 99 g
após retirar 1X, 1Y, 1Z: 2X, 1Y, 2Z = 62 g
O que queremos: a massa de uma caixa do medicamento Z
Passo 1 — Montar a equação do estado inicial
Precisamos traduzir a primeira informação do enunciado em uma equação. A massa total é a soma das massas de todas as caixas: 5 caixas de X, 4 de Y e 3 de Z. Chamando as massas de x, y e z, temos 5x + 4y + 3z = 143.
Por que esta fórmula: A massa total é a soma das massas individuais, então multiplicamos a quantidade de cada caixa pela sua massa e somamos.
De onde vem cada valor: = enunciado: 5 caixas de X · = enunciado: 4 caixas de Y · = enunciado: 3 caixas de Z · = enunciado: total de 143 g
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de incluir o número de caixas de algum medicamento, ou inverter os coeficientes.
Passo 2 — Montar a equação após a primeira retirada
Após retirar 2 caixas de X e 2 de Y, restam 3 de X, 2 de Y e 3 de Z, totalizando 99 g. Isso gera a segunda equação, que será usada para eliminar variáveis.
Por que esta fórmula: Mesma lógica: a massa total é a soma das massas das caixas restantes.
De onde vem cada valor: = enunciado: restaram 3 caixas de Z · = enunciado: restaram 2 caixas de Y · = enunciado: total de 99 g
NÃO CAIA NESSA!
Usar as quantidades retiradas em vez das restantes.
Passo 3 — Montar a equação após a segunda retirada
Após a segunda retirada, restam 2 caixas de X, 1 de Y e 2 de Z, totalizando 62 g. Isso fornece a terceira equação.
Por que esta fórmula: Mesma lógica: a massa total é a soma das massas das caixas restantes.
De onde vem cada valor: = enunciado: restaram 2 caixas de Z · = enunciado: restou 1 caixa de Y · = enunciado: total de 62 g
NÃO CAIA NESSA!
Confundir as quantidades após a segunda retirada com as da primeira.
Passo 4 — Subtrair a segunda equação da primeira
Para resolver o sistema, queremos eliminar variáveis. Subtrair as equações remove os termos com z, pois ambos têm 3z, e também reduz o número de incógnitas.
Por que esta fórmula: Subtrair equações é uma operação válida: se A = B e C = D, então A - C = B - D. Isso nos dá uma nova equação com menos incógnitas.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 2 · = passo 1 · = passo 2
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração dos coeficientes, por exemplo, subtrair 3x de 5x e obter 2x, mas esquecer de subtrair os termos constantes.
Passo 5 — Dividir a equação por 2
A equação 2x + 2y = 44 pode ser simplificada dividindo todos os termos por 2, ficando x + y = 22. Isso facilita a substituição posterior.
Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por um mesmo número não altera a igualdade.
De onde vem cada valor: = passo 4: 2x + 2y dividido por 2 · = passo 4: 44 dividido por 2
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir o termo constante também.
Passo 6 — Subtrair a terceira equação da segunda
Agora subtraímos a terceira equação da segunda para eliminar x e y parcialmente, obtendo uma relação que envolve z.
Por que esta fórmula: Subtrair equações é uma operação válida e nos dá uma nova equação.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 3 · = passo 2 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração dos coeficientes, por exemplo, subtrair 2x de 3x e obter x, mas esquecer de subtrair os termos constantes.
Passo 7 — Substituir x + y por 22 na equação
Temos duas equações: x + y = 22 e x + y + z = 37. Substituindo o valor de x + y na segunda, podemos isolar z.
Por que esta fórmula: Se x + y = 22, então na equação x + y + z = 37, podemos trocar x + y por 22.
De onde vem cada valor: = passo 5 · = passo 6
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de substituir corretamente, ou usar o valor errado de x + y.
Passo 8 — Isolar z e calcular
Para achar z, subtraímos 22 de ambos os lados da equação.
Por que esta fórmula: Isolar a variável é o objetivo final; subtrair o mesmo número dos dois lados mantém a igualdade.
De onde vem cada valor: = passo 6 · = passo 5
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração, por exemplo, calcular 37 - 22 = 16.