Uma compra com 50 frascos de álcool em gel e 120 máscaras de proteção facial custou R$ 1.003,00. Sob os mesmos preços unitários desses itens, outra compra, de 8 frascos de álcool em gel e 40 máscaras de proteção facial, custou R$ 252,00. Com base nessas informações, é correto concluir que, nessas compras, cada frasco de álcool em gel foi vendido a
AR$ 4,40.
BR$ 6,50.
CR$ 8,00.
DR$ 9,50.
ER$ 12,40.
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GabaritoD — R$ 9,50.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 9,50 (alternativa D).
A ideia por trás
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações que compartilham as mesmas incógnitas. Aqui, as incógnitas são os preços unitários do álcool e da máscara. Cada compra fornece uma equação: a quantidade de cada item multiplicada pelo seu preço, somada, dá o total pago. Como os preços são os mesmos nas duas compras, as duas equações descrevem a mesma relação entre os preços, permitindo descobri-los. A resolução por substituição consiste em isolar uma incógnita em uma equação e usar essa expressão na outra, reduzindo o problema a uma equação com uma só incógnita. Nesta questão, montamos o sistema e resolvemos para achar o preço do álcool.
O que a questão dá
50 frascos de álcool + 120 máscaras = R$ 1003,00
8 frascos de álcool + 40 máscaras = R$ 252,00
O que queremos: o preço de cada frasco de álcool em gel
Passo 1 — Definir as incógnitas
Para transformar o problema em linguagem matemática, precisamos dar nomes aos valores desconhecidos: o preço do frasco de álcool e o preço da máscara. Isso permite escrever as equações que relacionam as compras.
NÃO CAIA NESSA!
Não confundir as incógnitas: a é álcool, m é máscara. Trocar os papéis leva a respostas erradas.
Passo 2 — Montar as equações das compras
Cada compra é uma equação: a quantidade de álcool vezes seu preço, mais a quantidade de máscaras vezes seu preço, é igual ao total pago. Escrevemos as duas equações porque temos duas incógnitas e precisamos de duas relações para encontrá-las.
Por que esta fórmula: A relação é preço total = (quantidade de álcool × preço do álcool) + (quantidade de máscaras × preço da máscara). É a definição de custo total de uma compra.
De onde vem cada valor: = enunciado: 50 frascos de álcool · = passo 1: preço do álcool · = enunciado: 120 máscaras · = passo 1: preço da máscara · = enunciado: custo total da primeira compra
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar a quantidade pelo preço, somando apenas as quantidades.
Passo 3 — Montar a segunda equação
A segunda compra fornece outra equação com as mesmas incógnitas. Com duas equações, podemos resolver o sistema.
Por que esta fórmula: Mesma lógica da primeira: total = quantidade × preço unitário, somado para os dois itens.
De onde vem cada valor: = enunciado: 8 frascos de álcool · = passo 1: preço do álcool · = enunciado: 40 máscaras · = passo 1: preço da máscara · = enunciado: custo total da segunda compra
NÃO CAIA NESSA!
Usar os valores da primeira compra na segunda equação.
Passo 4 — Simplificar a segunda equação
Dividir todos os termos por 4 deixa a equação com números menores, facilitando o isolamento de m. Isso não altera a solução, pois é uma operação válida em ambos os lados.
Por que esta fórmula: Dividir uma equação por um número mantém a igualdade, desde que todos os termos sejam divididos. Aqui, 8, 40 e 252 são divisíveis por 4.
De onde vem cada valor: = passo 3: 8a ÷ 4 · = passo 3: 40m ÷ 4 · = passo 3: 252 ÷ 4
NÃO CAIA NESSA!
Dividir apenas um lado da equação, quebrando a igualdade.
Passo 5 — Isolar m na equação simplificada
Para usar o método da substituição, precisamos expressar uma incógnita em função da outra. Isolando m, podemos substituí-lo na primeira equação, ficando só com a.
Por que esta fórmula: Subtraímos 2a dos dois lados e depois dividimos por 10, para deixar m sozinho.
De onde vem cada valor: = passo 4: termo independente · = passo 4: termo com a · = passo 4: coeficiente de m
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal ao passar 2a para o outro lado: deve ser 63 - 2a, não 63 + 2a.
Passo 6 — Substituir m na primeira equação
Com m expresso em função de a, substituímos na primeira equação. Assim, a equação fica apenas com a incógnita a, que podemos resolver.
Por que esta fórmula: A primeira equação é 50a + 120m = 1003. Trocamos m pela expressão do passo 5.
De onde vem cada valor: = passo 2: termo com a · = passo 2: coeficiente de m · = passo 5: expressão de m · = passo 2: total da primeira compra
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar 120 pela fração inteira, ou errar a simplificação de 120/10.
Passo 7 — Resolver a equação para a
Agora temos uma equação do primeiro grau com uma incógnita. Simplificamos e isolamos a para encontrar seu valor.
Por que esta fórmula: Primeiro simplificamos 120/10 = 12, depois distribuímos 12, combinamos termos semelhantes e isolamos a.
De onde vem cada valor: = passo 6 · = passo 6: 120 ÷ 10 · = passo 5 · = passo 2
NÃO CAIA NESSA!
Errar a distributiva: 12 vezes 63 é 756, e 12 vezes 2a é 24a. Não esquecer o sinal de menos.
Passo 8 — Calcular o valor de a
Com a equação simplificada, isolamos a para obter o preço do álcool.
Por que esta fórmula: Combinamos os termos com a (50a - 24a = 26a), passamos 756 para o outro lado subtraindo, e dividimos por 26.
De onde vem cada valor: = passo 7: termo independente · = passo 7: 12 × 63 · = passo 7: 50 - 24
a = (247)/(26) = 9,50\ R$
NÃO CAIA NESSA!
Fazer 1003 - 756 errado: é 247, não 347. Conferir a subtração.