Questão de Matemática — Frações e Números Decimais — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 144 mil (alternativa C).

A ideia por trás

Este problema trata de frações de um total e de como repartir um valor em partes. Quando dizemos que uma empresa recebeu 3/5 do seu investimento anual no primeiro semestre, isso significa que o total anual foi dividido em 5 partes iguais e 3 dessas partes foram aplicadas no primeiro semestre; o restante, 2/5, fica para o segundo semestre. A soma dos investimentos do primeiro semestre é a soma dessas frações aplicadas a cada empresa, e isso gera uma equação. Como temos duas empresas com totais anuais desconhecidos, precisamos de duas equações: uma para o total anual (A + B = 600) e outra para a soma do primeiro semestre (3/5 A + 2/3 B = 376). Resolvendo esse sistema, encontramos os totais anuais e, então, calculamos a fração correspondente ao segundo semestre de A. Nesta questão, o passo crucial é montar corretamente o sistema e depois lembrar que o segundo semestre é o complemento da fração do primeiro.

O que a questão dá

• total anual investido em A e B = R$ 600 mil

• no 1º semestre, A recebeu 3/5 do seu total anual

• no 1º semestre, B recebeu 2/3 do seu total anual

• soma dos investimentos no 1º semestre = R$ 376 mil

O que queremos: o investimento feito na empresa A no segundo semestre

Passo 1 — Definir as incógnitas A e B

Precisamos organizar as informações. Vamos chamar de A o total anual investido na empresa A e de B o total anual investido na empresa B. Assim, podemos traduzir as frases do enunciado em equações.

Passo 2 — Montar a equação do total anual

O total investido nas duas empresas no ano inteiro foi de R$ 600 mil. Como A e B representam esses totais, a soma deles deve ser 600. Essa é a primeira equação do sistema.

Por que esta fórmula: A soma dos totais anuais é exatamente o investimento total, então A + B = 600.

De onde vem cada valor: $A$ = definido no passo 1 · $B$ = definido no passo 1 · $600$ = enunciado: total de R$ 600 mil

Passo 3 — Montar a equação do primeiro semestre

No primeiro semestre, a empresa A recebeu 3/5 do seu total anual, ou seja, (3/5)·A. A empresa B recebeu 2/3 do seu total, ou seja, (2/3)·B. A soma desses valores é R$ 376 mil. Essa é a segunda equação.

Por que esta fórmula: A fração de um total é calculada multiplicando a fração pelo total. Como a soma dos investimentos do primeiro semestre é dada, montamos a equação com as frações.

De onde vem cada valor: $\frac{3}{5}$ = enunciado: A recebeu três quintos no 1º semestre · $A$ = passo 1 · $\frac{2}{3}$ = enunciado: B recebeu dois terços no 1º semestre · $B$ = passo 1 · $376$ = enunciado: soma dos investimentos no 1º semestre = R$ 376 mil

Passo 4 — Isolar B na primeira equação

Para resolver o sistema, vamos usar o método da substituição. Da primeira equação, podemos expressar B em função de A: B = 600 - A. Isso permite substituir B na segunda equação, ficando com uma só incógnita.

Por que esta fórmula: Isolamos B subtraindo A dos dois lados da equação A + B = 600.

De onde vem cada valor: $600$ = passo 2 · $A$ = passo 1

Passo 5 — Substituir B na segunda equação

Agora que B está em função de A, substituímos na equação do primeiro semestre. Isso elimina B e nos dá uma equação apenas com A, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde tinha B, colocamos 600 - A.

De onde vem cada valor: $\frac{3}{5}A$ = passo 3 · $\frac{2}{3}$ = passo 3 · $600 - A$ = passo 4 · $376$ = passo 3

Passo 6 — Resolver a equação para A

Vamos simplificar a equação passo a passo. Primeiro, distribuímos o 2/3: (2/3)·600 = 400 e (2/3)·(-A) = -(2/3)A. Depois, combinamos os termos com A: (3/5)A - (2/3)A. Para isso, precisamos de um denominador comum, que é 15. Então (3/5)A = (9/15)A e (2/3)A = (10/15)A. A subtração dá -(1/15)A. A equação fica: 400 - (1/15)A = 376. Subtraindo 400 de ambos os lados: -(1/15)A = -24. Multiplicando por -15: A = 360.

Por que esta fórmula: Estamos resolvendo uma equação linear de primeiro grau. Isolamos A realizando operações inversas.

De onde vem cada valor: $360$ = resultado da resolução da equação do passo 5

Passo 7 — Calcular o investimento de A no segundo semestre

Agora que sabemos que o total anual de A é 360 mil, precisamos da parte do segundo semestre. No primeiro semestre, A recebeu 3/5 do total, então no segundo semestre recebeu o restante: 1 - 3/5 = 2/5 do total. Portanto, multiplicamos 2/5 por 360.

Por que esta fórmula: A fração do segundo semestre é o complemento da fração do primeiro, pois a soma das partes deve dar o total (1 inteiro).

De onde vem cada valor: $\frac{2}{5}$ = complemento de 3/5: 1 - 3/5 = 2/5 · $A$ = passo 6: 360

Resposta: R$ 144 mil (alternativa C)