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Questão de Matemática — Equação de 2º Grau e Problemas de 2º Grau — VUNESP 2025

MatemáticaEquação de 2º Grau e Problemas de 2º Grau
Código
vu114210
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Campinas - SP
Ano
2025
Nível
Médio
Um total de 195 poltronas do setor I de um teatro estão alinhadas em filas com a mesma quantidade de poltronas, sendo que o número de poltronas, por fila, é 2 unidades maior que o número de filas. No setor II desse teatro, as poltronas também estão alinhadas em filas, com a mesma quantidade de poltronas por fila.Sabendo-se que, comparado ao setor I, o setor II tem 3 filas a mais, com 2 poltronas a menos em cada fila, o número total de poltronas no setor II é igual a
  1. A184.
  2. B232.
  3. C208.
  4. D192.
  5. E221.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 208.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 208 poltronas (alternativa C).

A ideia por trás

Este problema envolve a relação entre o número de filas e o número de poltronas por fila em um teatro. O total de poltronas é sempre o produto do número de filas pelo número de poltronas em cada fila. Quando o enunciado diz que um é 2 unidades maior que o outro, isso gera uma equação do segundo grau, pois temos duas quantidades desconhecidas ligadas por uma diferença fixa e um produto conhecido. A equação do segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0, e sua solução pode ser encontrada pela fórmula de Bhaskara, que dá as raízes da equação. Nesta questão, precisamos descobrir quantas filas tem o setor I, para então calcular as filas e poltronas do setor II e seu total.

O que a questão dá

  • total de poltronas do setor I = 195

  • poltronas por fila do setor I = filas do setor I + 2

  • setor II: 3 filas a mais que o setor I

  • setor II: 2 poltronas a menos por fila que o setor I

O que queremos: o número total de poltronas no setor II

Passo 1 — Montar a equação do setor I

Precisamos traduzir o enunciado em uma equação. Como o total de poltronas é o produto do número de filas pelo número de poltronas por fila, e sabemos que um é 2 unidades maior que o outro, podemos representar as filas por x e as poltronas por fila por x+2. Assim, o produto é 195.

Por que esta fórmula: A relação fundamental é: total = filas × poltronas por fila. Como o número de poltronas por fila é 2 unidades maior que o número de filas, escrevemos x para filas e x+2 para poltronas por fila. O produto é igual a 195.

x⋅(x+2)=195x \cdot (x + 2) = 195

De onde vem cada valor: xx = número de filas do setor I (incógnita) · x+2x + 2 = enunciado: poltronas por fila é 2 unidades maior que o número de filas · 195195 = enunciado: total de poltronas do setor I

x⋅(x+2)=195x \cdot (x + 2) = 195
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar x por (x+2) e tentar resolver como equação linear.

Passo 2 — Expandir e reorganizar a equação

Para resolver a equação do segundo grau, precisamos colocá-la na forma padrão ax² + bx + c = 0. Isso facilita a aplicação da fórmula de Bhaskara.

Por que esta fórmula: Expandindo o produto e movendo todos os termos para um lado, obtemos a forma padrão.

x2+2x−195=0x^{2} + 2x - 195 = 0

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 1: x · x · 2x2x = passo 1: x · 2 · −195-195 = passo 1: subtrair 195 de ambos os lados

x2+2x−195=0x^{2} + 2x - 195 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover o 195 para o outro lado.

Passo 3 — Calcular o discriminante

O discriminante (Δ) indica quantas raízes reais a equação tem e é usado na fórmula de Bhaskara. Precisamos calculá-lo para encontrar as soluções.

Por que esta fórmula: Na fórmula de Bhaskara, o discriminante é Δ = b² - 4ac. Ele aparece dentro da raiz quadrada.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 2: coeficiente de x, que é 2 · aa = passo 2: coeficiente de x², que é 1 · cc = passo 2: termo constante, que é -195

Δ=22−4⋅1⋅(−195)=4+780=784=784\Delta = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-195) = 4 + 780 = 784 = \boxed{784}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o sinal de c é negativo, resultando em 4 - 780 = -776.

Passo 4 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante calculado, podemos encontrar as raízes da equação, que são os possíveis valores para o número de filas.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara é x = (-b ± √Δ) / (2a). Ela fornece as soluções da equação do segundo grau.

x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 2: 2 · Δ\Delta = passo 3: 784 · aa = passo 2: 1

x=−2±7842⋅1=−2±282x = \frac{-2 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 28}{2}

x = 13 ou x = -15

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal na fórmula, por exemplo, usar -b como +b.

Passo 5 — Escolher a raiz positiva

O número de filas não pode ser negativo, então descartamos a raiz negativa e ficamos com x = 13.

13 filas\boxed{13\ \text{filas}}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar a raiz negativa como válida, o que não faz sentido no contexto.

Passo 6 — Calcular poltronas por fila do setor I

Precisamos saber quantas poltronas há em cada fila do setor I para depois aplicar as diferenças do setor II.

Por que esta fórmula: O enunciado diz que o número de poltronas por fila é 2 unidades maior que o número de filas. Como já temos o número de filas, somamos 2.

p=x+2p = x + 2

De onde vem cada valor: xx = passo 5: 13 · 22 = enunciado: 2 unidades maior

p=13+2=15=15 poltronasporfilap = 13 + 2 = 15 = \boxed{15\ \text{poltronas} \text{por} \text{fila}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair 2 em vez de somar.

Passo 7 — Calcular filas e poltronas do setor II

O setor II tem 3 filas a mais e 2 poltronas a menos por fila em relação ao setor I. Precisamos desses valores para calcular o total.

Por que esta fórmula: Somamos 3 ao número de filas e subtraímos 2 do número de poltronas por fila, conforme o enunciado.

fII=fI+3,pII=pI−2f_{II} = f_I + 3, \quad p_{II} = p_I - 2

De onde vem cada valor: fIf_I = passo 5: 13 · pIp_I = passo 6: 15 · 33 = enunciado: 3 filas a mais · 22 = enunciado: 2 poltronas a menos

fII=13+3=16,pII=15−2=13=16 filase13poltronasporfilaf_{II} = 13 + 3 = 16, \quad p_{II} = 15 - 2 = 13 = \boxed{16\ \text{filas} \text{e} 13 \text{poltronas} \text{por} \text{fila}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter as diferenças: somar 2 e subtrair 3.

Passo 8 — Calcular o total do setor II

O total de poltronas é o produto do número de filas pelo número de poltronas por fila. Agora temos os dois valores, então multiplicamos.

Por que esta fórmula: A relação fundamental é a mesma: total = filas × poltronas por fila.

TII=fII⋅pIIT_{II} = f_{II} \cdot p_{II}

De onde vem cada valor: fIIf_{II} = passo 7: 16 · pIIp_{II} = passo 7: 13

TII=16⋅13=208=208 poltronasT_{II} = 16 \cdot 13 = 208 = \boxed{208\ \text{poltronas}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação ou usar os valores do setor I.

Resposta: 208 poltronas (alternativa C)

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