GabaritoE — 40 m.
Gabarito: letra E — a conta chega a 40 m (alternativa E).
A área de um retângulo mede a superfície ocupada por ele, calculada pelo produto do comprimento pela largura. O perímetro é a soma de todos os lados, ou seja, o contorno da figura. Quando conhecemos a área e uma relação entre os lados, montamos uma equação para descobrir as medidas. Nesta questão, a relação é que o lado maior é 1 metro a menos que o dobro do menor, o que gera uma equação do 2º grau. Resolvendo-a, encontramos os lados e, então, calculamos o perímetro.
área do salão = 91 m²
lado maior = 2 × lado menor − 1 m
O que queremos: o perímetro do salão
Precisamos transformar o texto em uma linguagem matemática. Chamar o lado menor de x permite escrever o lado maior em função dele, usando a relação dada.
Por que esta fórmula: A relação '1 metro a menos que o dobro' se traduz como 2x − 1, pois 'dobro' é multiplicar por 2 e '1 a menos' é subtrair 1.
De onde vem cada valor: = incógnita definida como lado menor · = dobro do lado menor · = enunciado: 1 metro a menos
Inverter a relação, escrevendo 2x + 1 em vez de 2x − 1.
A área do retângulo é o produto dos lados. Como conhecemos a área (91 m²) e já temos os lados em função de x, podemos igualar o produto a 91.
Por que esta fórmula: A fórmula da área do retângulo é A = base × altura. Aqui, base = x e altura = 2x−1, então A = x·(2x−1).
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1 · = enunciado: área = 91 m²
Esquecer de multiplicar os termos, escrevendo x + (2x−1) = 91.
Para resolver a equação do 2º grau, precisamos colocá-la na forma padrão ax² + bx + c = 0. Expandir o produto e passar todos os termos para um lado.
Por que esta fórmula: A forma padrão permite usar a fórmula de Bhaskara. Expandindo x·(2x−1) obtemos 2x² − x, e subtraindo 91 dos dois lados fica 2x² − x − 91 = 0.
De onde vem cada valor: = x · 2x · = x · (−1) · = passo 2: 91 movido para o lado esquerdo
Errar o sinal ao mover o 91, ficando 2x² − x + 91 = 0.
O discriminante (Δ) indica quantas raízes reais a equação tem e é usado na fórmula de Bhaskara. Precisamos dele para encontrar os valores de x.
Por que esta fórmula: Na equação ax² + bx + c = 0, o discriminante é Δ = b² − 4ac. Aqui a=2, b=−1, c=−91.
De onde vem cada valor: = passo 3: coeficiente de x, que é −1 · = passo 3: coeficiente de x², que é 2 · = passo 3: termo constante, que é −91
Esquecer o sinal de c, calculando 1 − 728 = −727.
Com o discriminante calculado, podemos encontrar as raízes da equação, que são os possíveis valores para o lado menor.
Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara é x = (−b ± √Δ) / (2a). Ela resolve qualquer equação do 2º grau.
De onde vem cada valor: = passo 3: −1 · = passo 4: 729 · = passo 3: 2
x = 7 ou x = −6,5
Errar o sinal de b, usando −1 em vez de +1.
Medida de comprimento não pode ser negativa, então descartamos a raiz negativa e ficamos com x = 7 m.
Considerar a raiz negativa como válida, o que daria um lado negativo.
Com o lado menor conhecido, usamos a relação do enunciado para achar o lado maior.
Por que esta fórmula: A relação é L_maior = 2x − 1. Substituímos x por 7.
De onde vem cada valor: = passo 6: 7
Calcular 2·7 + 1 = 15, esquecendo o '1 a menos'.
O perímetro é a soma de todos os lados do retângulo. Com os dois lados, podemos calculá-lo.
Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é P = 2·(base + altura). Aqui base = 7 e altura = 13.
De onde vem cada valor: = passo 6: 7 m · = passo 7: 13 m
Esquecer de multiplicar por 2, marcando 20 m (a soma dos lados).
Resposta: 40 m (alternativa E)
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