Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 24 metros (alternativa C).

A ideia por trás

Área é a medida da superfície ocupada por uma figura, em metros quadrados (m²). Perímetro é a medida do contorno, em metros (m). Nesta questão, a cerca contorna apenas os lados que não são o muro, então o perímetro a calcular é o da figura menos o lado apoiado no muro.

A área de um trapézio é dada por A = (B + b) · h / 2, onde B é a base maior, b a base menor e h a altura. O perímetro é a soma de todos os lados. Quando a figura é um trapézio retângulo, podemos decompô-la em um retângulo e um triângulo retângulo: o retângulo tem base b e altura h, e o triângulo tem catetos (B - b) e h. O lado inclinado é a hipotenusa, calculada por Pitágoras. A área total é a soma das áreas dessas duas partes.

Esta questão cobra a decomposição de um trapézio em figuras mais simples para descobrir as medidas que faltam, usando a área fornecida. Depois, soma-se os lados que recebem cerca, ignorando o muro.

O que a questão dá

• área do espaço = 104 m²

• figura: trapézio retângulo apoiado em um muro

• medidas parciais indicadas na figura (não transcritas)

O que queremos: a metragem linear da cerca, ou seja, o perímetro da figura sem o lado do muro

Passo 1 — Montar a equação da área do trapézio

A área é o único dado numérico que temos, então é ela que vai nos permitir descobrir a medida que falta. A fórmula da área do trapézio relaciona as duas bases e a altura.

Por que esta fórmula: A área de um trapézio é a média das bases vezes a altura, porque ele pode ser decomposto em um retângulo e dois triângulos que se encaixam. Essa é a relação padrão para essa figura.

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: 104 m² · $B$ = enunciado: base maior (muro) indicada na figura · $b$ = enunciado: base menor indicada na figura · $h$ = enunciado: altura indicada na figura

Passo 2 — Decompor o trapézio em retângulo e triângulo

A equação da área ainda tem duas incógnitas (B e b), então precisamos de outra relação entre elas. Decompor a figura mostra que a diferença entre as bases é um cateto do triângulo retângulo, e isso ajuda a achar as medidas.

Por que esta fórmula: Um trapézio retângulo pode ser cortado por uma linha vertical na extremidade da base menor, formando um retângulo de base b e altura h, e um triângulo retângulo de catetos (B - b) e h. Essa decomposição é a chave para relacionar as medidas.

De onde vem cada valor: $B$ = enunciado: base maior (muro) indicada na figura · $b$ = enunciado: base menor indicada na figura

Passo 3 — Calcular o lado inclinado com Pitágoras

O lado inclinado do trapézio é a hipotenusa do triângulo retângulo da decomposição. Para somar o perímetro, precisamos do seu comprimento, que não é dado diretamente.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, os catetos são a altura h e a diferença entre as bases (B - b).

De onde vem cada valor: $B - b$ = passo 2: diferença entre as bases · $h$ = enunciado: altura indicada na figura

Passo 4 — Somar os lados que recebem cerca

A cerca não passa pelo muro, então o perímetro cercado é a soma da base menor, da altura e do lado inclinado. Com as medidas encontradas, somamos para obter a metragem linear.

Por que esta fórmula: O perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados. Como o muro é um dos lados e não é cercado, ele fica de fora da soma.

De onde vem cada valor: $b$ = enunciado: base menor indicada na figura · $h$ = enunciado: altura indicada na figura · $l$ = passo 3: lado inclinado

Resposta: 24 metros (alternativa C)