Um depósito de materiais possui alguns tijolos refratários. Para facilitar as vendas, esses tijolos serão colocados em sacos, cada saco com o mesmo número de tijolos. Nessas condições, é possível colocar 15 tijolos em cada saco, ou colocar 18 tijolos em cada saco, e, em qualquer dos casos, não restará tijolo fora dos sacos. Sabendo que o número de tijolos refratários que há nesse depósito é menor do que 100, o número de tijolos é
A95.
B90.
C85.
D80.
E75.
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GabaritoB — 90.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 90 tijolos (alternativa B).
A ideia por trás
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois números é o menor número que é múltiplo de ambos. Quando uma quantidade pode ser dividida em grupos de tamanhos diferentes sem sobrar resto, essa quantidade é um múltiplo comum desses tamanhos. Para calcular o MMC, fatoramos cada número em primos e tomamos os fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes. Nesta questão, o total de tijolos deve ser múltiplo comum de 15 e 18, e como é menor que 100, precisamos encontrar o MMC e verificar se ele é o único múltiplo comum nesse intervalo.
O que a questão dá
15 tijolos por saco
18 tijolos por saco
total de tijolos menor que 100
O que queremos: o número de tijolos no depósito
Passo 1 — Fatorar 15 em primos
Para calcular o MMC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada número. Isso nos mostra quais primos compõem o 15.
Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a base para o cálculo do MMC: escrevemos o número como produto de primos.
De onde vem cada valor: = enunciado: 15 tijolos por saco
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que 15 = 3 × 5, e não 15 = 5 × 3 (embora a ordem não importe, é preciso incluir todos os fatores).
Passo 2 — Fatorar 18 em primos
Assim como fizemos com 15, precisamos da fatoração de 18 para depois combinar os fatores.
Por que esta fórmula: A fatoração em primos de 18 revela que ele tem um fator 2 e dois fatores 3.
De onde vem cada valor: = enunciado: 18 tijolos por saco
NÃO CAIA NESSA!
Escrever 18 = 2 × 3, esquecendo que 3 aparece ao quadrado.
Passo 3 — Calcular o MMC de 15 e 18
Com as fatorações em mãos, o MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes. Isso garante que o resultado seja divisível por ambos os números.
Por que esta fórmula: O MMC é obtido multiplicando os fatores primos comuns e não comuns, cada um elevado ao maior expoente que aparece nas fatorações.
De onde vem cada valor: = passo 2: fator 2 de 18 · = passo 2: fator 3² de 18 (maior expoente que em 15) · = passo 1: fator 5 de 15
NÃO CAIA NESSA!
Usar o menor expoente em vez do maior, o que daria 3 em vez de 3² e resultaria em 30, que não é múltiplo de 18.
Passo 4 — Verificar múltiplos comuns menores que 100
O MMC é o menor múltiplo comum, mas o problema pede um número menor que 100. Precisamos confirmar se há outros múltiplos comuns nesse intervalo.
Por que esta fórmula: Os múltiplos comuns de 15 e 18 são os múltiplos do MMC. Como o MMC é 90, os múltiplos são 90, 180, 270, ...
De onde vem cada valor: = passo 3: MMC calculado
90 é o único menor que 100
NÃO CAIA NESSA!
Parar no MMC sem verificar a condição 'menor que 100' — mas aqui o próximo múltiplo já é 180, então não há ambiguidade.