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Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2025

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu114667
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Osasco - SP
Ano
2025
Nível
Médio
Uma pesquisa será feita com um certo número N de pacientes de um posto de saúde municipal. Para viabilizar essa pesquisa, esses pacientes deverão ser divididos em grupos com iguais quantidades de pacientes em cada um. Essa divisão poderá ser feita em grupos com 12, ou com 20, ou com 25 pacientes em cada um, sendo que, em qualquer um desses casos, nenhum paciente ficará de fora dos grupos. Sabendo que esse posto de saúde possui menos do que 580 pacientes, é correto concluir que N é um número cuja soma de seus algarismos é igual a
  1. A3
  2. B4
  3. C5
  4. D6
  5. E7
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GabaritoA — 3

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A soma dos algarismos de N é 3, portanto alternativa A..

A ideia por trás

Quando um número deve ser dividido em grupos iguais sem sobrar ninguém, ele precisa ser múltiplo do tamanho de cada grupo. O mínimo múltiplo comum (MMC) entre os tamanhos é o menor número que é divisível por todos eles ao mesmo tempo — é o que procuramos aqui, pois o posto tem menos de 580 pacientes e queremos o menor N possível. O MMC é obtido fatorando cada número e tomando os fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes. Nesta questão, N deve ser múltiplo de 12, 20 e 25, então calculamos o MMC desses três números e depois somamos os algarismos do resultado.

O que a questão dá

  • grupos com 12 pacientes

  • grupos com 20 pacientes

  • grupos com 25 pacientes

  • menos de 580 pacientes no posto

O que queremos: a soma dos algarismos do número N de pacientes

Passo 1 — Entender que N é múltiplo comum

Para dividir os pacientes em grupos de 12, 20 ou 25 sem sobrar ninguém, o total N precisa ser divisível por cada um desses números. Isso significa que N é um múltiplo comum de 12, 20 e 25. Como o posto tem menos de 580 pacientes, o menor múltiplo comum (o MMC) é o valor que procuramos.

NÃO CAIA NESSA!

Achar que basta ser múltiplo de um deles, mas tem que ser de todos ao mesmo tempo.

Passo 2 — Fatorar cada número em primos

Para calcular o MMC, precisamos da fatoração em primos de cada número. Isso mostra quais fatores estão presentes e com quais expoentes.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a base para o MMC: escrevemos cada número como produto de primos.

12=22⋅3,20=22⋅5,25=5212 = 2^{2} \cdot 3, \quad 20 = 2^{2} \cdot 5, \quad 25 = 5^{2}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: grupos com 12 pacientes · 2020 = enunciado: grupos com 20 pacientes · 2525 = enunciado: grupos com 25 pacientes

12=22⋅3,20=22⋅5,25=5212 = 2^{2} \cdot 3, \quad 20 = 2^{2} \cdot 5, \quad 25 = 5^{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 25 = 5², não 5.

Passo 3 — Calcular o MMC

O MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes. Isso nos dá o menor número que é múltiplo de 12, 20 e 25 ao mesmo tempo.

Por que esta fórmula: O MMC é obtido pegando cada fator primo que aparece e o maior expoente encontrado.

MMC=22⋅3⋅52MMC = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 2: maior expoente de 2 entre 12 e 20 · 33 = passo 2: fator 3 de 12 · 525^{2} = passo 2: maior expoente de 5 entre 20 e 25

MMC=4⋅3⋅25=300MMC = 4 \cdot 3 \cdot 25 = \boxed{300}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o menor expoente em vez do maior — isso daria o MDC, não o MMC.

Passo 4 — Conferir se N é menor que 580

O enunciado diz que o posto tem menos de 580 pacientes. O MMC deu 300, que é menor que 580, então é o valor válido. Se fosse maior, precisaríamos de outro raciocínio.

300 <580\boxed{300\ < 580}
NÃO CAIA NESSA!

Não verificar a condição do enunciado e aceitar um múltiplo maior.

Passo 5 — Somar os algarismos de N

A pergunta pede a soma dos algarismos de N. Como N = 300, somamos 3 + 0 + 0.

Por que esta fórmula: A soma dos algarismos é simplesmente a adição dos dígitos que compõem o número.

S=3+0+0S = 3 + 0 + 0

De onde vem cada valor: 33 = passo 3: algarismo das centenas de 300 · 00 = passo 3: algarismo das unidades de 300

S=3+0+0=3S = 3 + 0 + 0 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 300 tem dois zeros e somar apenas 3.

Resposta: A soma dos algarismos de N é 3, portanto alternativa A.

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