A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de arestas medindo 12, 9 e 5 centímetros. O ponto P localiza-se na intersecção das diagonais e da face ABCD. O ponto Q localiza-se na intersecção das diagonais e da face DCFE.Na situação descrita, a medida do perímetro do triângulo PCQ, em centímetros, é
A
B14 + √53
C1 + 9√6
D14 + √106
E
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GabaritoA — [imagem]
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Geometria Espacial: distância entre pontos em um paralelepípedo
Gabarito: letra A. O perímetro do triângulo PCQ é a soma das distâncias entre os pontos P, C e Q. Como P e Q são os centros das faces ABCD e DCFE, respectivamente, as distâncias PC e QC são metade das diagonais dessas faces, e a distância PQ é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a metade da aresta de 9 cm e a aresta de 5 cm. Calculando: PC = 6,5 cm, QC = √(6² + 2,5²) = 6,5 cm e PQ = √(4,5² + 5²) = √45,25 cm. O perímetro é 13 + √45,25 cm, que corresponde à alternativa A.
O problema envolve um paralelepípedo reto-retângulo, que é um prisma reto cujas bases são retângulos. As arestas medem 12 cm, 9 cm e 5 cm. Os pontos P e Q são os centros (intersecção das diagonais) de duas faces adjacentes: ABCD e DCFE. A face ABCD tem arestas 12 cm e 9 cm; a face DCFE tem arestas 9 cm e 5 cm. O ponto P está no centro da face ABCD, e o ponto Q está no centro da face DCFE. O triângulo PCQ tem vértices em P, C e Q, onde C é o vértice comum às duas faces.
Para calcular o perímetro, precisamos das distâncias PC, QC e PQ. Como P é o centro da face ABCD, a distância de P ao vértice C é metade da diagonal dessa face. A diagonal da face ABCD é calculada pelo Teorema de Pitágoras: d = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15 cm. Portanto, PC = 15/2 = 7,5 cm. Da mesma forma, Q é o centro da face DCFE, cuja diagonal é d = √(9² + 5²) = √(81 + 25) = √106 cm. Assim, QC = √106/2 cm.
A distância PQ é mais sutil. Podemos usar um sistema de coordenadas. Colocando o vértice C na origem (0,0,0), a face ABCD está no plano z=0, com A em (12,0,0), B em (12,9,0) e D em (0,9,0). O ponto P, centro da face ABCD, tem coordenadas (6, 4.5, 0). A face DCFE está no plano x=0, com D em (0,9,0), C em (0,0,0), E em (0,9,5) e F em (0,0,5). O ponto Q, centro da face DCFE, tem coordenadas (0, 4.5, 2.5). A distância PQ é a distância entre esses dois pontos: PQ = √((6-0)² + (4.5-4.5)² + (0-2.5)²) = √(36 + 0 + 6.25) = √42.25 = 6.5 cm.
Agora, o perímetro do triângulo PCQ é PC + QC + PQ = 7.5 + √106/2 + 6.5 = 14 + √106/2 cm. No entanto, a alternativa A apresenta o valor 14 + √106/2, que é exatamente o que calculamos. As demais alternativas apresentam valores diferentes, como 14 + √53, que seria o resultado se a distância PQ fosse calculada incorretamente, ou 1 + 9√6, que não corresponde a nenhum cálculo direto.
A pegadinha desta questão está em identificar corretamente as faces e os pontos. O candidato pode confundir as faces ou calcular a distância PQ de forma errada, por exemplo, usando a aresta de 12 cm em vez da combinação correta. Além disso, é comum errar ao calcular a diagonal da face, esquecendo de aplicar o Teorema de Pitágoras corretamente.
Distâncias em paralelepípedo — só Distâncias PC e QC: 7,5 e √106/2; só Distância PQ: 6,5; Distâncias PC e QC∩Distância PQ: soma = 14 + √106/2
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Esta alternativa apresenta o perímetro correto: 14 + √106/2 cm. Conforme calculado, PC = 7,5 cm, QC = √106/2 cm e PQ = 6,5 cm. A soma é 14 + √106/2 cm, que é exatamente o valor da alternativa A.
Alternativa B — ❌ Incorreta
O valor 14 + √53 seria obtido se a distância QC fosse calculada como √(9² + 5²) = √106, mas sem dividir por 2, resultando em √106, e a distância PQ fosse calculada incorretamente como √(6² + 5²) = √61, o que não corresponde à realidade. O erro está em não considerar que Q é o centro da face, ou seja, a distância é metade da diagonal.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O valor 1 + 9√6 não corresponde a nenhum cálculo direto das distâncias. Provavelmente, o candidato tentou combinar as arestas de forma equivocada, como somar 1 (que não aparece em nenhum cálculo) com 9√6, que seria o resultado de uma diagonal mal calculada.
Alternativa D — ❌ Incorreta
O valor 14 + √106 seria obtido se a distância QC fosse calculada como a diagonal inteira da face DCFE, sem dividir por 2. No entanto, Q é o centro da face, então a distância é metade da diagonal. O erro está em não dividir a diagonal por 2.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Esta alternativa apresenta uma imagem, mas não corresponde ao valor correto do perímetro. O valor correto é 14 + √106/2 cm, que está na alternativa A.
e 
da face ABCD. O ponto Q localiza-se na intersecção das diagonais 
e 
da face DCFE.
Na situação descrita, a medida do perímetro do triângulo PCQ, em centímetros, é
