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Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2025

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu114889
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Sertãozinho - SP
Ano
2025
Nível
Médio
Da rodoviária de certo município parte um ônibus a cada 3 horas para a cidade de São Paulo e um ônibus a cada 4 horas para a cidade do Rio de Janeiro. No dia 1o de outubro de 2024, às 8 horas, partiram, ao mesmo tempo, um ônibus para cada uma dessas cidades. Até o dia 31 de outubro de 2024, às 15 horas, o número de vezes em que ônibus para ambos os destinos identificados partiram dessa rodoviária, ao mesmo tempo, foi igual a
  1. A62.
  2. B61.
  3. C60.
  4. D59.
  5. E58.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 61.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 61 vezes (alternativa B).

A ideia por trás

Quando dois eventos se repetem com períodos diferentes, eles coincidem nos instantes que são múltiplos comuns dos dois períodos. O menor desses múltiplos é o MMC, que dá o intervalo entre duas coincidências consecutivas. Aqui, os períodos são 3h e 4h; como são primos entre si, o MMC é o produto 3×4=12h, então os ônibus partem juntos a cada 12 horas. Para contar quantas coincidências ocorrem num intervalo de tempo, dividimos o tempo total pelo intervalo e somamos 1 (para incluir a partida inicial). Nesta questão, precisamos calcular o tempo total entre 1º/10 8h e 31/10 15h, converter para horas, e aplicar essa contagem.

O que a questão dá

  • período do ônibus para São Paulo = 3 horas

  • período do ônibus para Rio de Janeiro = 4 horas

  • instante inicial = 1º de outubro de 2024, 8h

  • instante final = 31 de outubro de 2024, 15h

O que queremos: o número de vezes em que os ônibus partem juntos (ao mesmo tempo) entre os instantes inicial e final, inclusive

Passo 1 — Calcular o intervalo entre coincidências

Para saber de quanto em quanto tempo os ônibus partem juntos, precisamos do mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos. O MMC é o menor número que é múltiplo de ambos, e ele indica o intervalo entre duas coincidências consecutivas.

Por que esta fórmula: Como 3 e 4 são primos entre si (não têm divisor comum além de 1), o MMC é simplesmente o produto deles. Se houvesse fatores comuns, precisaríamos decompor em fatores primos e pegar os fatores comuns e não comuns com maior expoente.

MMC(3,4)=3×4MMC(3{,}4) = 3 \times 4

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: período do ônibus para São Paulo · 44 = enunciado: período do ônibus para Rio de Janeiro

MMC(3,4)=3×4=12=12 horasMMC(3{,}4) = 3 \times 4 = 12 = \boxed{12\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o intervalo é 3+4=7 horas, mas o correto é o MMC, que é 12.

Passo 2 — Calcular o tempo total em horas

Para contar quantas coincidências ocorrem, precisamos saber o tempo total entre o instante inicial e o final. Vamos converter tudo em horas, pois o intervalo entre coincidências está em horas.

Por que esta fórmula: O tempo total é a soma dos dias completos (30 dias) mais as horas extras do último dia. Cada dia tem 24 horas.

Ttotal=30×24+7T_{total} = 30 \times 24 + 7

De onde vem cada valor: 3030 = do dia 1º/10 8h até 31/10 8h são 30 dias completos · 2424 = horas em um dia · 77 = do dia 31/10 8h até 15h são 7 horas

Ttotal=30×24+7=720+7=727=727 horasT_{total} = 30 \times 24 + 7 = 720 + 7 = 727 = \boxed{727\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar 29 dias em vez de 30, ou esquecer as 7 horas extras, resultando em 720 ou 719 horas.

Passo 3 — Dividir o tempo total pelo intervalo

Cada coincidência ocorre a cada 12 horas. Dividindo o tempo total por 12, obtemos quantos intervalos completos de 12 horas cabem no período, o que nos dá o número de coincidências após a inicial.

Por que esta fórmula: A divisão inteira (piso) de 727 por 12 nos dá quantas vezes o intervalo de 12 horas cabe completamente no tempo total. O resto não importa, pois não completa um novo intervalo.

⌊72712⌋\left\lfloor \frac{727}{12} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 727727 = passo 2: tempo total em horas · 1212 = passo 1: intervalo entre coincidências

⌊72712⌋=⌊60,58⌋=60\left\lfloor \frac{727}{12} \right\rfloor = \lfloor 60{,}58 \rfloor = 60

60 intervalos completos

NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para cima (61) em vez de usar o piso, pois 61×12=732 > 727, o que não cabe no tempo total.

Passo 4 — Somar 1 para incluir a partida inicial

A divisão nos deu o número de intervalos completos, mas as coincidências ocorrem nos instantes 0, 12, 24, ... . O instante 0 (a partida inicial) também conta, então precisamos somar 1 ao número de intervalos.

Por que esta fórmula: Se há 60 intervalos completos, então há 60 coincidências após a inicial, mais a inicial, totalizando 61. Isso é análogo a contar os pontos em uma régua: se você tem 60 espaços, tem 61 marcas.

N=60+1N = 60 + 1

De onde vem cada valor: 6060 = passo 3: número de intervalos completos · 11 = a partida inicial no instante 0

N=60+1=61=61 vezesN = 60 + 1 = 61 = \boxed{61\ \text{vezes}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1, obtendo 60, que é o número de intervalos, não o número de eventos.

Resposta: 61 vezes (alternativa B)

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