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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu115161
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Médio
As turmas de ensino fundamental do período vespertino de uma escola possuem, no total, 264 meninos e 324 meninas. A fim de organizar a saída desses alunos para uma excursão, esses alunos foram divididos em grupos, todos com a mesma quantidade de pessoas, de maneira que cada grupo tenha a maior quantidade possível de pessoas, mas sem se misturar meninos e meninas em um mesmo grupo.Feita essa divisão, o número total de grupos formados foi
  1. A12.
  2. B22.
  3. C27.
  4. D42.
  5. E49.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 49.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 49 grupos (alternativa E).

A ideia por trás

Quando precisamos dividir duas quantidades em grupos do mesmo tamanho, sem misturar as categorias, e queremos o maior tamanho possível, estamos procurando o máximo divisor comum (MDC). O MDC é o maior número que divide exatamente as duas quantidades, ou seja, é o maior tamanho de grupo que funciona para ambas. Nesta questão, o MDC entre 264 e 324 é 12, então cada grupo terá 12 pessoas. Depois de achar o MDC, precisamos calcular quantos grupos de cada tipo são formados e somar, pois a pergunta é o total de grupos, não o tamanho de cada um.

O que a questão dá

  • meninos = 264

  • meninas = 324

O que queremos: o número total de grupos formados

Passo 1 — Fatorar o número de meninos

Para achar o MDC, precisamos decompor cada número em fatores primos. Isso mostra quais fatores são comuns e com quais expoentes.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a base para calcular o MDC: pegamos os fatores comuns com os menores expoentes.

264=23×3×11264 = 2^{3} \times 3 \times 11

De onde vem cada valor: 264264 = enunciado: meninos = 264

264=23×3×11264 = 2^{3} \times 3 \times 11
264=2 3×3×11264 = \boxed{2\ ^{3} \times 3 \times 11}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 11, o que levaria a um MDC errado.

Passo 2 — Fatorar o número de meninas

Precisamos da fatoração do segundo número para comparar os fatores comuns.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos de 324 nos dá os fatores que serão comparados com os de 264.

324=22×34324 = 2^{2} \times 3^{4}

De onde vem cada valor: 324324 = enunciado: meninas = 324

324=22×34324 = 2^{2} \times 3^{4}
324=2 2×34324 = \boxed{2\ ^{2} \times 3^{4}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir os expoentes, por exemplo, escrever 2^3 em vez de 2^2.

Passo 3 — Calcular o MDC entre 264 e 324

Com as fatorações em mãos, o MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Esse será o tamanho máximo de cada grupo.

Por que esta fórmula: O MDC é definido assim: para cada fator primo que aparece nas duas fatorações, tomamos o menor expoente e multiplicamos.

MDC=22×3MDC = 2^{2} \times 3

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1 e passo 2: fator comum 2 com menor expoente 2 · 33 = passo 1 e passo 2: fator comum 3 com menor expoente 1

MDC=22×3=4×3=12=12MDC = 2^{2} \times 3 = 4 \times 3 = 12 = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Pegar os maiores expoentes (o que seria o MMC) em vez dos menores.

Passo 4 — Dividir meninos pelo MDC

Cada grupo terá 12 pessoas. Para saber quantos grupos de meninos são possíveis, dividimos o total de meninos por 12.

Por que esta fórmula: Se temos 264 meninos e cada grupo comporta 12, o número de grupos é a divisão 264 ÷ 12.

gruposmeninos=26412grupos_{meninos} = \frac{264}{12}

De onde vem cada valor: 264264 = enunciado: meninos = 264 · 1212 = passo 3: MDC = 12

gruposmeninos=26412=22=22 gruposgrupos_{meninos} = \frac{264}{12} = 22 = \boxed{22\ \text{grupos}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar aqui e achar que a resposta é 22, esquecendo de somar os grupos de meninas.

Passo 5 — Dividir meninas pelo MDC

Da mesma forma, calculamos quantos grupos de meninas são possíveis.

Por que esta fórmula: Com 324 meninas e grupos de 12, o número de grupos é 324 ÷ 12.

gruposmeninas=32412grupos_{meninas} = \frac{324}{12}

De onde vem cada valor: 324324 = enunciado: meninas = 324 · 1212 = passo 3: MDC = 12

gruposmeninas=32412=27=27 gruposgrupos_{meninas} = \frac{324}{12} = 27 = \boxed{27\ \text{grupos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fazer essa divisão e marcar 27 como resposta.

Passo 6 — Somar os grupos de meninos e meninas

A pergunta é o total de grupos formados, então precisamos somar os grupos de meninos e de meninas.

Por que esta fórmula: O total de grupos é a soma dos grupos de cada categoria, pois eles são separados.

total=gruposmeninos+gruposmeninastotal = grupos_{meninos} + grupos_{meninas}

De onde vem cada valor: gruposmeninosgrupos_{meninos} = passo 4: 22 · gruposmeninasgrupos_{meninas} = passo 5: 27

total=22+27=49=49 grupostotal = 22 + 27 = 49 = \boxed{49\ \text{grupos}}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar o MDC (12) como resposta, pois a banca coloca esse valor como distrator.

Resposta: 49 grupos (alternativa E)

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