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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu115180
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Médio
Participaram de uma atividade cultural 126 alunos e 30 professores. Essas pessoas foram divididas em grupos, cada grupo com o mesmo número de participantes, sendo esse número o maior possível.Sabendo que não podia haver alunos e professores no mesmo grupo e que ninguém ficou fora dos grupos, é correto afirmar que o número total de grupos formados foi igual a
  1. A15.
  2. B18.
  3. C21.
  4. D24.
  5. E26.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 26.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 26 grupos (alternativa E).

A ideia por trás

Quando um problema pede para dividir quantidades em grupos com o mesmo número de participantes, sendo esse número o maior possível, estamos falando de máximo divisor comum (MDC). O MDC entre dois números é o maior número que divide ambos exatamente. Ele representa o tamanho máximo que cada grupo pode ter para que não sobre ninguém. Neste caso, como alunos e professores não podem se misturar, calculamos o MDC entre 126 e 30, que é 6. Isso significa que cada grupo terá 6 pessoas. Depois, para saber quantos grupos de cada tipo existem, dividimos a quantidade de alunos e de professores pelo MDC. O total de grupos é a soma desses quocientes. A pegadinha é confundir o tamanho do grupo (6) com o número total de grupos (26).

O que a questão dá

  • alunos = 126

  • professores = 30

O que queremos: o número total de grupos formados

Passo 1 — Calcular o MDC entre 126 e 30

Precisamos do maior número que divide tanto 126 quanto 30, pois é esse o tamanho máximo de cada grupo. O MDC é obtido fatorando os números e multiplicando os fatores comuns com o menor expoente.

Por que esta fórmula: Usamos a fatoração em primos para encontrar o MDC: decompomos cada número e pegamos os fatores comuns com o menor expoente.

126=2⋅32⋅7e30=2⋅3⋅5126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 \quad \text{e} \quad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

De onde vem cada valor: 126126 = enunciado: 126 alunos · 3030 = enunciado: 30 professores

126=2⋅32⋅7,30=2⋅3⋅5126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7, \quad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

MDC = 2 ⋅\cdot 3 = 6

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de considerar o fator 7, que não é comum, e achar que o MDC é 2 ou 3.

Passo 2 — Dividir os alunos pelo MDC

Agora que sabemos que cada grupo terá 6 pessoas, precisamos descobrir quantos grupos de alunos são possíveis. Como não pode haver professores no grupo de alunos, dividimos apenas o total de alunos pelo tamanho do grupo.

Por que esta fórmula: O número de grupos é a quantidade total dividida pelo tamanho de cada grupo.

grupos de alunos=1266\text{grupos de alunos} = \frac{126}{6}

De onde vem cada valor: 126126 = enunciado: 126 alunos · 66 = passo 1: MDC = 6

1266=21=21 gruposdealunos\frac{126}{6} = 21 = \boxed{21\ \text{grupos} \text{de} \text{alunos}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar aqui e marcar 21, esquecendo dos professores.

Passo 3 — Dividir os professores pelo MDC

Da mesma forma, precisamos saber quantos grupos de professores podem ser formados, usando o mesmo tamanho de grupo (6).

Por que esta fórmula: O número de grupos de professores é a quantidade de professores dividida pelo tamanho do grupo.

grupos de professores=306\text{grupos de professores} = \frac{30}{6}

De onde vem cada valor: 3030 = enunciado: 30 professores · 66 = passo 1: MDC = 6

306=5=5 gruposdeprofessores\frac{30}{6} = 5 = \boxed{5\ \text{grupos} \text{de} \text{professores}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 30 dividido por 5, achando que o grupo tem 5 pessoas.

Passo 4 — Somar os grupos de alunos e professores

O total de grupos é a soma dos grupos de cada categoria, pois todos os grupos têm o mesmo tamanho e não há mistura.

Por que esta fórmula: O total é a soma das partes.

total=21+5\text{total} = 21 + 5

De onde vem cada valor: 2121 = passo 2: grupos de alunos · 55 = passo 3: grupos de professores

21+5=26=26 grupos21 + 5 = 26 = \boxed{26\ \text{grupos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e marcar 21 ou 5.

Resposta: 26 grupos (alternativa E)

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