Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

Matemática: Expressões Numéricas e Potenciação

Gabarito: letra B. A senha da fechadura é o resultado da expressão numérica dada, que, após simplificação, resulta em 17, valor que se encontra no intervalo entre 15 e 21.

Para resolver a expressão, primeiro simplificamos o termo comum que aparece repetidamente. Seja $x = (16^2)^{1/4} + (16^3)^{1/6}$. Aplicando as propriedades de potência $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, temos:

1. $(16^2)^{1/4} = 16^{2/4} = 16^{1/2} = \sqrt{16} = 4$

2. $(16^3)^{1/6} = 16^{3/6} = 16^{1/2} = \sqrt{16} = 4$

Assim, $x = 4 + 4 = 8$. Substituindo $x$ na expressão original, temos:

$x^{2/3} + (x^{2/3} - 1) \cdot (x^{2/3} + 1)$

Como $x = 8$, calculamos $x^{2/3} = (8)^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$. Substituindo este valor na expressão:

$4 + (4 - 1) \cdot (4 + 1) = 4 + (3 \cdot 5) = 4 + 15 = 19$

Nota: Reavaliando a estrutura da expressão conforme a imagem, o termo central é $(x^{2/3} - 1) \cdot (x^{2/3} + 1)$, que é um produto notável da forma $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Com $a = x^{2/3} = 4$ e $b = 1$, temos $(4-1)(4+1) = 16 - 1 = 15$. Somando o primeiro termo $x^{2/3} = 4$, o resultado final é $4 + 15 = 19$.

O valor 19 pertence ao intervalo entre 15 e 21, confirmando a letra B como a alternativa correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 19 não está contido no intervalo de 9 a 15.

Alternativa B — ✅ Correta

O valor 19 está corretamente situado no intervalo entre 15 e 21.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 19 é inferior ao intervalo de 21 a 27.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 19 é inferior ao intervalo de 27 a 33.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 19 é inferior ao intervalo de 33 a 39.

Gabarito: letra B