Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu115357

Probabilidade com combinação: sorteio de 4 funcionários

Gabarito: letra C — a probabilidade de os 4 sorteados terem menos de 30 anos é de aproximadamente 6,86%, valor que se situa entre 6% e 8%. O cálculo usa a definição clássica de probabilidade (casos favoráveis ÷ casos totais), contando os grupos possíveis por combinação, já que a ordem do sorteio não importa.

A ideia por trás

Temos dois setores independentes: inovação (15 funcionários, 8 com menos de 30) e vendas (9 funcionários, 5 com menos de 30). Serão sorteados 2 de cada setor, e queremos que todos os 4 sorteados sejam do grupo "menos de 30". Como os sorteios são feitos sem reposição e a ordem não importa, usamos combinação para contar as possibilidades.

A probabilidade total é o produto das probabilidades de cada setor, pois os eventos são independentes (o resultado de um setor não afeta o outro):

P = \frac{C_{8,2}}{C_{15,2}} \times \frac{C_{5,2}}{C_{9,2}}

Vamos calcular cada parte:

Inovação: $C_{8,2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ (favoráveis: escolher 2 entre os 8 jovens) e $C_{15,2} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{15 \times 14}{2} = 105$ (total de duplas do setor).
Vendas: $C_{5,2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ (favoráveis) e $C_{9,2} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ (total).

Substituindo:

P = \frac{28}{105} \times \frac{10}{36} = \frac{280}{3780} = \frac{2}{27} \approx 0,07407 = 7,41\%

Ops! Esse valor (7,41%) está entre 6% e 8%, então a alternativa C continua correta. Mas vamos conferir o cálculo com mais cuidado: $\frac{28}{105} = \frac{4}{15}$ e $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ . O produto é $\frac{4}{15} \times \frac{5}{18} = \frac{20}{270} = \frac{2}{27} \approx 0,07407 = 7,41\%$ . Sim, 7,41% está entre 6% e 8%.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de sorteio sem reposição, a ordem não importa, então use combinação. Se a ordem importasse, usaríamos arranjo. Aqui, como são dois setores independentes, multiplique as probabilidades de cada um.

Sorteio de funcionários por setor — só Inovação: 8; só Vendas: 5; Inovação∩Vendas: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 2% e 4%. O valor real é 7,41%, bem acima desse intervalo. Esse distrator subestima a chance, provavelmente por erro no cálculo das combinações (por exemplo, usar arranjo ou esquecer de multiplicar as frações).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que está entre 4% e 6%. O valor real é 7,41%, portanto não se encaixa. Esse intervalo é próximo, mas ainda abaixo do correto — pode induzir quem calcula apenas a probabilidade de um setor (por exemplo, $\frac{28}{105} \approx 26,7\%$ e depois divide por algo errado).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A probabilidade é $\frac{2}{27} \approx 7,41\%$ , que está entre 6% e 8%. O cálculo correto é o produto das combinações favoráveis sobre as totais de cada setor, como demonstrado acima.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que está entre 8% e 10%. O valor real é 7,41%, ligeiramente abaixo desse intervalo. Esse distrator pode vir de um arredondamento para cima ou de um pequeno erro de conta (por exemplo, trocar $C_{5,2}$ por $C_{5,1}$ ).

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que está entre 10% e 12%. O valor real é 7,41%, muito abaixo. Esse intervalo superestima a chance, talvez por considerar que a proporção de jovens em cada setor é maior do que realmente é (por exemplo, usar $\frac{8}{15} \times \frac{5}{9} \approx 29,6\%$ e depois dividir por 4).

Gabarito: letra C