Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 14.000,00 (alternativa B).

A ideia por trás

Quando dizemos que um valor é 50% maior que outro, estamos comparando com a parte, não com o todo. Se B é 50% maior que A, então B = A + 0,5·A = 1,5·A. Isso significa que, para cada R$ 1,00 de lucro de A, B tem R$ 1,50. A relação entre as grandezas é de proporção direta: se A cresce, B cresce na mesma proporção, mas sempre 1,5 vezes maior. A condição de validade é que A seja positivo, o que é natural para lucro. Nesta questão, temos a soma dos dois lucros e a relação percentual, então montamos um sistema de duas equações para descobrir cada valor e depois a diferença.

O que a questão dá

• soma dos lucros = R$ 70.000,00

• lucro de B é 50% maior que o de A

O que queremos: a diferença entre os lucros de B e A

Passo 1 — Escrever B em função de A

Precisamos transformar a informação 'B é 50% maior que A' em uma equação. '50% maior' significa que B é igual a A mais metade de A, ou seja, B = 1,5·A. Isso é o mesmo que multiplicar A por 1,5.

Por que esta fórmula: A relação percentual 'x% maior' é sempre traduzida como (1 + x/100) vezes o valor base. Aqui, 50% = 0,5, então B = (1 + 0,5)·A = 1,5·A.

De onde vem cada valor: $B$ = enunciado: lucro da empresa B · $A$ = enunciado: lucro da empresa A · $1{,}5$ = enunciado: 50% maior, ou seja, 1 + 0,5

Passo 2 — Montar a equação da soma

Temos duas incógnitas (A e B) e precisamos de duas equações. A primeira veio da relação percentual; a segunda vem do enunciado: a soma dos lucros é R$ 70.000,00. Com isso, podemos substituir B pela expressão do passo 1 e resolver.

Por que esta fórmula: A soma dos lucros é dada diretamente, então A + B = 70.000. Essa é a equação que fecha o sistema.

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: lucro da empresa A · $B$ = enunciado: lucro da empresa B · $70.000$ = enunciado: soma dos lucros

Passo 3 — Substituir B na equação da soma

Agora temos duas equações com as mesmas incógnitas. Substituindo B por 1,5·A na equação da soma, ficamos com uma equação só com A, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituição é o método padrão para resolver sistemas: trocamos B pela expressão equivalente, reduzindo o número de incógnitas.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 2 · $1{,}5 \cdot A$ = passo 1: B = 1,5·A · $70.000$ = passo 2

Passo 4 — Somar os termos com A

Para isolar A, precisamos combinar os termos que contêm A. A é o mesmo que 1·A, então 1·A + 1,5·A = 2,5·A. Isso simplifica a equação.

Por que esta fórmula: Somar coeficientes de mesma variável é uma operação algébrica básica: a·x + b·x = (a+b)·x.

De onde vem cada valor: $2{,}5$ = passo 3: 1 + 1,5 · $A$ = passo 3 · $70.000$ = passo 3

Passo 5 — Isolar A dividindo

A equação 2,5·A = 70.000 tem A multiplicado por 2,5. Para descobrir A, dividimos os dois lados por 2,5. Isso é o inverso da multiplicação.

Por que esta fórmula: Para isolar a incógnita, aplicamos a operação inversa: se está multiplicando, dividimos.

De onde vem cada valor: $70.000$ = passo 4 · $2{,}5$ = passo 4

Passo 6 — Calcular B usando a relação

Com A = 28.000, usamos a relação do passo 1 para achar B. Isso é necessário porque a diferença pedida envolve B.

Por que esta fórmula: A relação B = 1,5·A continua válida; agora substituímos A pelo valor encontrado.

De onde vem cada valor: $1{,}5$ = passo 1 · $A$ = passo 5: 28.000

Passo 7 — Calcular a diferença B menos A

A pergunta final é a diferença entre os lucros de B e A. Com os dois valores em mãos, subtraímos A de B.

Por que esta fórmula: Diferença é a subtração: B − A.

De onde vem cada valor: $B$ = passo 6: 42.000 · $A$ = passo 5: 28.000

Resposta: R$ 14.000,00 (alternativa B)