Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 144 maneiras — alternativa E.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras diferentes podemos organizar ou escolher elementos, sem precisar listar todas as possibilidades. Aqui, o elemento é a cor de cada região, e as regras são: vizinhos não podem repetir cor e todas as três cores precisam aparecer. O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz que, se uma escolha tem a opções e a seguinte tem b, o total é a × b — desde que as escolhas sejam independentes.

Quando as escolhas dependem umas das outras, como aqui (a cor de uma região limita a da vizinha), o PFC ainda funciona, mas precisamos multiplicar as opções de cada etapa considerando as restrições. Além disso, quando há uma condição extra — como 'usar todas as cores' —, contamos o total sem a condição e subtraímos os casos que a violam. Essa é a ideia do Princípio da Inclusão-Exclusão: total permitido menos os casos proibidos.

Esta questão cobra exatamente isso: primeiro contar as colorações que respeitam apenas a restrição de vizinhança, depois subtrair aquelas em que uma das três cores não aparece. A figura define quais regiões são vizinhas, e é ela que determina a ordem de contagem.

O que a questão dá

• retângulo dividido em seis regiões (figura)

• 3 cores: azul, amarela e vermelha

• regiões adjacentes não podem ter a mesma cor

• cada cor deve ser usada ao menos uma vez

O que queremos: o número de maneiras distintas de colorir as seis regiões

Passo 1 — Desenhar a grade e marcar as adjacências

Antes de contar, precisamos enxergar a estrutura do problema. A figura mostra um retângulo dividido em seis regiões, que podemos organizar como uma grade 2×3: duas fileiras e três colunas. Cada região é vizinha das que estão ao lado e acima/abaixo. Desenhar isso deixa claro quais cores não podem se repetir.

Passo 2 — Contar as colorações sem a regra das três cores

Vamos primeiro contar todas as maneiras de colorir respeitando apenas a restrição de vizinhos diferentes. Isso é mais fácil e depois subtraímos os casos proibidos. Começamos pela primeira coluna: a região superior tem 3 opções de cor, e a inferior não pode ser igual, então tem 2 opções. Isso dá 3 × 2 = 6 maneiras para a primeira coluna.

Por que esta fórmula: Pelo PFC, multiplicamos as opções independentes: 3 para a primeira região e 2 para a segunda, porque a segunda não pode repetir a cor da primeira.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: três cores disponíveis · $2$ = definição: a cor da região inferior não pode ser igual à da superior, então das 3 cores uma é excluída, sobrando 2

Passo 3 — Contar as opções para a segunda coluna

A segunda coluna também tem duas regiões, mas agora elas têm vizinhos à esquerda. A região superior da coluna 2 não pode ser igual à superior da coluna 1, e a inferior não pode ser igual à inferior da coluna 1. Precisamos considerar dois casos: quando as cores da primeira coluna são iguais ou diferentes.

Por que esta fórmula: Se a primeira coluna tem cores diferentes (caso A), a superior da coluna 2 tem 2 opções (não pode ser a cor da superior da coluna 1), e a inferior também tem 2 opções (não pode ser a cor da inferior da coluna 1), mas se a superior da coluna 2 for igual à inferior da coluna 1, a inferior da coluna 2 tem 1 opção. Isso gera uma contagem por casos. Se a primeira coluna tem cores iguais (caso B), a superior da coluna 2 tem 2 opções e a inferior também 2, pois não há conflito entre elas.

De onde vem cada valor: $2$ = definição: para cada região, a cor não pode ser igual à do vizinho à esquerda, então das 3 cores uma é excluída, sobrando 2 · $1$ = definição: quando a superior da coluna 2 é igual à inferior da coluna 1, a inferior da coluna 2 não pode ser nem essa cor nem a cor da inferior da coluna 1, sobrando apenas 1 opção

Passo 4 — Contar as opções para a terceira coluna

A terceira coluna segue o mesmo raciocínio da segunda, mas agora depende das cores da segunda coluna. Precisamos multiplicar as possibilidades de cada coluna para obter o total de colorações sem a restrição de usar todas as cores.

Por que esta fórmula: Para cada configuração da primeira e segunda colunas, a terceira coluna tem um número de opções que depende se as cores da segunda coluna são iguais ou diferentes. Vamos calcular o total somando os produtos das opções de cada coluna.

De onde vem cada valor: $opções 1ª coluna$ = passo 2: 6 · $opções 2ª coluna$ = passo 3: 3 ou 4 · $opções 3ª coluna$ = definição: análogo ao passo 3, dependendo se as cores da segunda coluna são iguais ou diferentes

$\text{Total}$ = 150 maneiras sem a restrição de usar todas as cores

Passo 5 — Subtrair os casos em que uma cor não é usada

O total de 150 inclui colorações que usam apenas duas cores, o que viola a condição de que as três cores apareçam. Precisamos subtrair esses casos. Vamos contar quantas colorações usam apenas duas cores (ou seja, uma cor fica de fora).

Por que esta fórmula: Se uma cor não é usada, restam duas cores para colorir as seis regiões. O número de maneiras de colorir com duas cores, respeitando a restrição de vizinhos diferentes, é 2 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 2, porque a primeira região tem 2 opções e todas as outras têm apenas 1 (a cor diferente da vizinha). Como há 3 escolhas de qual cor fica de fora, subtraímos 3 × 2 = 6.

De onde vem cada valor: $3$ = definição: escolha da cor que não será usada, entre as 3 cores · $2$ = definição: maneiras de colorir com as duas cores restantes, respeitando a restrição de vizinhos diferentes

Passo 6 — Calcular o número final de maneiras

Agora subtraímos os casos proibidos do total permitido. O resultado é o número de colorações que usam as três cores e respeitam as adjacências.

Por que esta fórmula: Total permitido menos os casos que violam a condição de usar todas as cores.

De onde vem cada valor: $150$ = passo 4 · $6$ = passo 5

Resposta: 144 maneiras — alternativa E