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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu115381
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Nível
Superior
Um estudo foi feito com as equipes de corrida de N clubes do país. Uma das equipes era composta por 40 atletas e todas as demais por 20 atletas cada. Considerando os atletas de cada equipe, foi calculada a média aritmética dos melhores tempos pessoais nos 200 m rasos, de maneira que, para a equipe com 40 atletas, essa média foi igual a 29,4 s e, para as outras equipes, essa média foi sempre igual a 26,9 s.Considerando todos os atletas de todas as equipes dos N clubes, a média aritmética dos melhores recordes pessoais nos 200 m rasos foi igual a 27 s, logo, o valor de N é
  1. A27.
  2. B35.
  3. C49.
  4. D51.
  5. E63.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 49.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a N = 49, alternativa C..

A ideia por trás

A média aritmética é uma medida que resume um conjunto de valores: ela é o valor que, se todos os dados fossem iguais a ele, a soma total seria a mesma. Por isso, conhecendo a média de um grupo e a quantidade de elementos, podemos recuperar a soma total multiplicando média × quantidade. Essa é a propriedade que permite trabalhar com grupos sem conhecer os valores individuais.

Quando temos grupos com tamanhos diferentes, a média geral é a média ponderada: soma de todos os valores dividida pelo total de elementos. Cada grupo contribui com sua soma (média do grupo × tamanho do grupo), e o denominador é a soma dos tamanhos. A média geral fica entre as médias dos grupos, mais próxima da média do grupo maior.

Nesta questão, temos dois grupos: um com 40 atletas e média 29,4 s, e outro formado por (N − 1) equipes de 20 atletas, com média 26,9 s. A média geral é 27 s. Precisamos montar a equação da média ponderada e isolar N.

O que a questão dá

  • 1 equipe com 40 atletas, média 29,4 s

  • (N − 1) equipes com 20 atletas cada, média 26,9 s

  • média geral = 27 s

O que queremos: o número de clubes N

Passo 1 — Calcular a soma dos tempos da equipe grande

A média geral é a soma de todos os tempos dividida pelo total de atletas. Para montar essa soma, precisamos primeiro saber quanto cada equipe contribui. Como conhecemos a média e o número de atletas de cada equipe, a soma é média × quantidade.

Por que esta fórmula: A soma dos tempos de um grupo é a média vezes o número de elementos, pois a média é justamente a soma dividida pela quantidade.

Sgrande=40×29,4S_{grande} = 40 \times 29{,}4

De onde vem cada valor: 4040 = enunciado: equipe com 40 atletas · 29,429{,}4 = enunciado: média da equipe grande = 29,4 s

Sgrande=40×29,4=1176 sS_{grande} = 40 \times 29{,}4 = \boxed{1176\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a média pela quantidade, usando apenas 29,4 como soma.

Passo 2 — Calcular a soma dos tempos das equipes pequenas

As demais equipes têm 20 atletas cada e média 26,9 s. Como são (N − 1) equipes, a soma total delas é a soma de uma equipe vezes o número de equipes. Precisamos dessa expressão em função de N para montar a equação da média geral.

Por que esta fórmula: Cada equipe pequena contribui com 20 × 26,9 s; multiplicando pelo número de equipes (N − 1) obtemos a contribuição total.

Spequenas=20×26,9×(N−1)S_{pequenas} = 20 \times 26{,}9 \times (N - 1)

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: cada equipe pequena tem 20 atletas · 26,926{,}9 = enunciado: média das equipes pequenas = 26,9 s · N−1N - 1 = enunciado: há (N − 1) equipes pequenas

Spequenas=20×26,9×(N−1)=538 (N−1)sS_{pequenas} = 20 \times 26{,}9 \times (N - 1) = \boxed{538\ (\text{N} − 1) \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar N em vez de (N − 1) para o número de equipes pequenas, esquecendo que uma equipe é a grande.

Passo 3 — Calcular o total de atletas

A média geral é a soma total dividida pelo total de atletas. Já temos a soma total (passos 1 e 2), agora precisamos do denominador: o número total de atletas, que também depende de N.

Por que esta fórmula: O total de atletas é a soma dos atletas da equipe grande (40) com os atletas das equipes pequenas (20 por equipe, vezes (N − 1) equipes).

Tatletas=40+20×(N−1)T_{atletas} = 40 + 20 \times (N - 1)

De onde vem cada valor: 4040 = enunciado: equipe com 40 atletas · 2020 = enunciado: cada equipe pequena tem 20 atletas · N−1N - 1 = enunciado: há (N − 1) equipes pequenas

Tatletas=40+20×(N−1)=20 N+20atletasT_{atletas} = 40 + 20 \times (N - 1) = \boxed{20\ \text{N} + 20 \text{atletas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os 40 atletas da equipe grande, usando apenas 20N.

Passo 4 — Montar a equação da média geral

A média geral é dada (27 s) e é igual à soma total dividida pelo total de atletas. Com as expressões dos passos 1, 2 e 3, podemos escrever uma equação que relaciona tudo e permite achar N.

Por que esta fórmula: A média aritmética de todos os atletas é a soma de todos os tempos dividida pelo número total de atletas. Essa é a definição de média.

1176+538(N−1)20N+20=27\frac{1176 + 538(N-1)}{20N + 20} = 27

De onde vem cada valor: 11761176 = passo 1: soma da equipe grande · 538(N−1)538(N-1) = passo 2: soma das equipes pequenas · 20N+2020N + 20 = passo 3: total de atletas · 2727 = enunciado: média geral = 27 s

1176+538(N−1)20N+20=27\frac{1176 + 538(N-1)}{20N + 20} = 27
NÃO CAIA NESSA!

Inverter numerador e denominador, colocando o total de atletas no numerador.

Passo 5 — Isolar N na equação

A equação do passo 4 tem N no numerador e no denominador. Para encontrar N, precisamos manipular algebricamente: multiplicar em cruz, simplificar e isolar N.

Por que esta fórmula: Multiplicando ambos os lados pelo denominador e depois resolvendo a equação linear, isolamos a incógnita.

1176+538(N−1)=27(20N+20)1176 + 538(N-1) = 27(20N + 20)

De onde vem cada valor: 11761176 = passo 1 · 538(N−1)538(N-1) = passo 2 · 2727 = enunciado · 20N+2020N + 20 = passo 3

1176+538N−538=540N+5401176 + 538N - 538 = 540N + 540
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 27(20N + 20) = 540N + 540, não 540N + 20.

Passo 6 — Resolver a equação para N

A equação linear do passo 5 já está simplificada. Agora basta combinar os termos semelhantes e isolar N para obter o valor numérico.

Por que esta fórmula: Somando/subtraindo termos de ambos os lados, isolamos N.

538N+638=540N+540538N + 638 = 540N + 540

De onde vem cada valor: 538N538N = passo 5: 538N · 638638 = passo 5: 1176 - 538 = 638 · 540N540N = passo 5: 27 × 20N = 540N · 540540 = passo 5: 27 × 20 = 540

638−540=540N−538N638 - 540 = 540N - 538N
98=2 N98 = \boxed{2\ \text{N}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover termos: 638 - 540 = 98, não -98.

Passo 7 — Dividir para achar N

A equação 98 = 2N está pronta. Dividindo ambos os lados por 2, obtemos o valor de N.

Por que esta fórmula: Para isolar N, dividimos ambos os lados pelo coeficiente de N.

N=982N = \frac{98}{2}

De onde vem cada valor: 9898 = passo 6: 98 = 2N · 22 = passo 6: coeficiente de N

N=982=49N = \frac{98}{2} = \boxed{49}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir errado: 98 ÷ 2 = 49, não 48.

Resposta: N = 49, alternativa C.

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