Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2026

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 29 economistas (alternativa B)..

A ideia por trás

A média aritmética é uma forma de resumir um conjunto de números: ela diz qual seria o valor de cada elemento se todos fossem iguais, mantendo a mesma soma total. Por isso, a soma de um grupo é sempre média × quantidade — essa é a chave para transformar informações de média em informações de soma, que podem ser comparadas entre grupos. Quando dois grupos se sobrepõem (como os 12 mais velhos contendo todos os advogados), a soma do grupo maior é a soma do grupo menor mais o que está fora. Nesta questão, usamos essa relação para descobrir a idade do economista mais velho e, depois, a média dos economistas para montar uma equação que revela quantos são.

O que a questão dá

• 11 advogados

• média das 12 pessoas mais velhas = 49 anos

• média dos advogados = 48 anos

• média dos economistas = 32 anos

• cada economista, exceto o mais velho, tem 31 anos

• advogado mais novo tem 34 anos

O que queremos: o número de economistas no grupo

Passo 1 — Calcular a soma das idades dos 12 mais velhos

A média sozinha não permite comparar grupos; precisamos da soma total. Como soma = média × quantidade, multiplicamos 49 por 12 para saber quantos anos somam os 12 mais velhos.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética é soma dividida pela quantidade; logo, a soma é a média vezes a quantidade.

De onde vem cada valor: $49$ = enunciado: média das 12 pessoas mais velhas = 49 anos · $12$ = enunciado: 12 pessoas mais velhas

Passo 2 — Calcular a soma das idades dos advogados

Precisamos da soma das idades dos advogados para comparar com a soma dos 12 mais velhos e descobrir a idade do economista mais velho.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: soma = média × quantidade.

De onde vem cada valor: $48$ = enunciado: média dos advogados = 48 anos · $11$ = enunciado: 11 advogados

Passo 3 — Descobrir a idade do economista mais velho

O enunciado diz que a pessoa mais velha é um economista. Como há 11 advogados e 12 pessoas mais velhas, os 12 mais velhos são exatamente os 11 advogados mais esse economista. Então a soma dos 12 menos a soma dos advogados dá a idade dele.

Por que esta fórmula: A diferença entre as somas dos dois grupos isola o elemento que está em um grupo mas não no outro.

De onde vem cada valor: $S_{12}$ = passo 1: 588 anos · $S_{adv}$ = passo 2: 528 anos

Passo 4 — Montar a equação da média dos economistas

Agora sabemos a idade do economista mais velho (60) e que os outros E−1 economistas têm 31 anos cada. A média dos economistas é 32, então podemos montar uma equação que relaciona a soma das idades deles com a quantidade E.

Por que esta fórmula: A média é a soma das idades dividida pelo número de economistas. A soma é 60 (o mais velho) mais 31 vezes a quantidade dos demais.

De onde vem cada valor: $60$ = passo 3: idade do economista mais velho · $31$ = enunciado: cada um dos demais economistas tem 31 anos · $E - 1$ = número de economistas exceto o mais velho · $32$ = enunciado: média dos economistas = 32 anos

Passo 5 — Resolver a equação para achar E

Com a equação montada, precisamos isolá-la para descobrir o valor de E. Vamos simplificar o numerador e depois multiplicar ambos os lados por E.

Por que esta fórmula: Multiplicar os dois lados por E elimina a fração; depois, subtrair 31E dos dois lados isola E.

De onde vem cada valor: $60$ = passo 3 · $31E$ = 31 vezes o número total de economistas (distribuindo) · $-31$ = subtração de 31 do termo 31(E-1) · $32E$ = 32 vezes E, após multiplicar ambos os lados por E

Resposta: 29 economistas (alternativa B).