Em certo dia, 2.110 veículos, sendo eles carros ou caminhões, passaram por uma praça de pedágio. Nessa praça, o valor do pedágio para carro é R$ 5,00, e o valor do pedágio para caminhão é R$ 12,00.Se o total arrecadado com o pedágio nesse dia foi R$ 19.321,00, o algarismo das unidades do número de caminhões que passaram por essa praça de pedágio é igual a
A3.
B4.
C5.
D6.
E7.
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GabaritoA — 3.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a O algarismo das unidades é 3, portanto alternativa A..
A ideia por trás
Este problema envolve um sistema de equações lineares, que é uma ferramenta para encontrar dois valores desconhecidos quando temos duas informações que os relacionam. No mundo real, isso aparece quando precisamos descobrir quantidades a partir de totais, como aqui: sabemos o total de veículos e o total arrecadado, e queremos separar quantos são carros e quantos são caminhões. A relação que governa é o sistema: a soma dos veículos é uma equação, e a soma das contribuições de cada tipo (cada carro contribui com 5, cada caminhão com 12) é outra. Quando uma incógnita aumenta, a outra diminui para manter a soma, e o total arrecadado muda conforme a proporção. Nesta questão, precisamos montar o sistema, resolver para o número de caminhões e, no final, olhar apenas o último algarismo desse número.
O que a questão dá
total de veículos = 2110
pedágio do carro = R$ 5,00
pedágio do caminhão = R$ 12,00
total arrecadado = R$ 19321,00
O que queremos: o algarismo das unidades do número de caminhões
Passo 1 — Montar o sistema de equações
Temos duas incógnitas (número de carros e de caminhões) e duas informações independentes: o total de veículos e o total arrecadado. Cada informação vira uma equação, e juntas formam um sistema que permite encontrar os valores.
Por que esta fórmula: A primeira equação vem da soma dos veículos: carros + caminhões = 2110. A segunda vem da arrecadação: cada carro contribui com 5 reais e cada caminhão com 12, então 5 vezes o número de carros mais 12 vezes o número de caminhões é o total arrecadado.
De onde vem cada valor: = incógnita: número de carros · = incógnita: número de caminhões · = enunciado: total de veículos · = enunciado: pedágio do carro · = enunciado: pedágio do caminhão · = enunciado: total arrecadado
NÃO CAIA NESSA!
Trocar os coeficientes: usar 12C + 5K = 19321, o que inverte os valores e leva a um resultado errado.
Passo 2 — Isolar uma incógnita na primeira equação
Para resolver o sistema, precisamos reduzir a duas equações com duas incógnitas para uma equação com uma incógnita. Isolando C na primeira equação, podemos substituí-lo na segunda.
Por que esta fórmula: Da equação C + K = 2110, subtraímos K dos dois lados para deixar C sozinho: C = 2110 - K.
De onde vem cada valor: = enunciado: total de veículos · = incógnita: número de caminhões
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair K dos dois lados, resultando em C = 2110 + K.
Passo 3 — Substituir C na segunda equação
Agora que C está em função de K, substituímos na segunda equação para ficar apenas com K. Isso transforma o sistema em uma equação de primeiro grau.
Por que esta fórmula: Na equação 5C + 12K = 19321, trocamos C por (2110 - K), pois são equivalentes.
De onde vem cada valor: = enunciado: pedágio do carro · = passo 2: expressão para C · = enunciado: pedágio do caminhão · = incógnita: número de caminhões · = enunciado: total arrecadado
NÃO CAIA NESSA!
Não distribuir o 5 corretamente: esquecer de multiplicar o -K, resultando em 10550 - 5K + 12K, mas com sinal errado.
Passo 4 — Simplificar a equação
Precisamos juntar os termos semelhantes para isolar K. Multiplicamos 5 por 2110 e somamos os termos com K.
Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva: 5·2110 = 10550, e -5K + 12K = 7K. Assim, a equação fica 10550 + 7K = 19321.
De onde vem cada valor: = passo 3: 5 × 2110 · = passo 3: -5K + 12K · = enunciado: total arrecadado
NÃO CAIA NESSA!
Errar a soma -5K + 12K, escrevendo 17K em vez de 7K.
Passo 5 — Isolar K na equação
Para encontrar o valor de K, precisamos deixá-lo sozinho de um lado. Subtraímos 10550 dos dois lados e depois dividimos por 7.
Por que esta fórmula: Subtraindo 10550 de ambos os lados: 7K = 19321 - 10550 = 8771. Depois, dividimos por 7 para obter K.
De onde vem cada valor: = enunciado: total arrecadado · = passo 4: termo constante · = passo 4: coeficiente de K
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração 19321 - 10550, resultando em 8771, mas confundir na divisão, como 8771 ÷ 7 = 1253, mas alguns podem errar para 1252 ou 1254.
Passo 6 — Extrair o algarismo das unidades
A pergunta pede especificamente o algarismo das unidades do número de caminhões, ou seja, o último dígito. Não precisamos do número completo, apenas do último algarismo.
Por que esta fórmula: O algarismo das unidades é o dígito mais à direita do número. Para 1253, o último dígito é 3.
De onde vem cada valor: = passo 5: número de caminhões
NÃO CAIA NESSA!
Confundir algarismo das unidades com o das dezenas (5) ou com o número inteiro (1253).
Resposta: O algarismo das unidades é 3, portanto alternativa A.