Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2026

Razão entre aresta do cubo e raio do cilindro

Gabarito: letra B. O volume do cilindro é um terço do volume do cubo, e ambos têm a mesma altura. Como a altura do cubo é a própria aresta $a$, temos $\pi r^2 a = \frac{a^3}{3}$, o que leva a $a^2 = 3\pi r^2$ e, portanto, $\frac{a}{r} = \sqrt{3\pi}$.

Vamos entender o problema. Temos um cilindro reto e um cubo com a mesma altura. No cubo, a altura é a medida da aresta, que chamaremos de $a$. O volume do cubo é $V_{cubo} = a^3$. O volume do cilindro é dado por $V_{cilindro} = \pi r^2 h$, onde $h$ é a altura do cilindro. Como as alturas são iguais, $h = a$. O enunciado afirma que o volume do cilindro é igual à terça parte do volume do cubo, ou seja:

Multiplicando ambos os lados por 3 e dividindo por $a$ (que é positivo), obtemos:

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados:

Portanto, a razão entre a aresta do cubo e o raio da base do cilindro é:

A alternativa que apresenta esse valor é a letra B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $3\sqrt{\pi}$. Esse valor seria obtido se, ao extrair a raiz, o 3 ficasse fora do radical, o que não ocorre: a raiz é aplicada ao produto $3\pi$ inteiro, resultando em $\sqrt{3\pi}$, e não $3\sqrt{\pi}$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme o desenvolvimento, $\frac{a}{r} = \sqrt{3\pi}$, exatamente o valor apresentado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $3\sqrt{2\pi}$. Esse valor não tem relação com a equação obtida; seria resultado de um erro na manipulação algébrica, como multiplicar por 2 em vez de 3 ou confundir os coeficientes.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\pi\sqrt{3}$. Esse valor confunde a posição do $\pi$: ele deveria estar dentro da raiz, pois a equação é $a^2 = 3\pi r^2$, e não $a^2 = \pi^2 \cdot 3 r^2$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{3\pi}}{2}$. Esse valor seria obtido se houvesse uma divisão por 2 na razão, o que não ocorre. A relação direta entre $a$ e $r$ não envolve o fator 1/2.

Gabarito: letra B