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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2026

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu116283
Banca
VUNESP
Órgão
FAPESP
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Analista Administrativo
Em uma estação, os trens da linha F partem a cada 6 minutos, os da linha G, a cada 9 minutos, e os da linha H, a cada 15 minutos. Em um determinado dia, às 6 horas, os trens dessas linhas partiram ao mesmo tempo e mantiveram as respectivas regularidades de partida desse horário em diante.Nesse dia, das 6 horas às 8 horas, o número de vezes em que os trens da linha F partiram sozinhos supera o número total de vezes em que os trens das linhas G e H partiram, simultaneamente, em
  1. A8.
  2. B4.
  3. C5.
  4. D6.
  5. E7.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 10 (alternativa A).

A ideia por trás

Quando dois ou mais eventos periódicos acontecem, eles coincidem nos horários que são múltiplos comuns de seus períodos. O menor desses horários é o mínimo múltiplo comum (MMC). Para contar quantas vezes algo acontece em um intervalo, usamos a divisão do tempo total pelo período, lembrando de incluir ou excluir os extremos conforme o enunciado.

O MMC de dois números é o menor número que é múltiplo de ambos. Para achá-lo, fatoramos os números e tomamos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente. Por exemplo, MMC(6,9) = 18, pois 6 = 2×3 e 9 = 3², então MMC = 2×3² = 18. Quando três números estão envolvidos, o MMC é o menor múltiplo comum a todos. A frequência de coincidência é o MMC dos períodos.

Precisamos calcular o MMC de (6,9,15) para saber quando os três partem juntos, e o MMC de (9,15) para saber quando G e H partem juntos. Depois, contamos as partidas de F que não coincidem com G nem H, e subtraímos o número de coincidências de G e H.

O que a questão dá

  • intervalo de partida da linha F: 6 minutos

  • intervalo de partida da linha G: 9 minutos

  • intervalo de partida da linha H: 15 minutos

  • horário inicial: 6h

  • horário final: 8h

O que queremos: quantas vezes a linha F parte sozinha a mais do que as linhas G e H partem juntas, no intervalo de 6h às 8h

Passo 1 — Calcular o MMC de 6, 9 e 15

Para saber de quanto em quanto tempo os três trens partem juntos, precisamos do menor múltiplo comum dos três intervalos. Isso nos dá o período de coincidência tripla.

Por que esta fórmula: O MMC é obtido fatorando cada número e tomando os fatores com maior expoente.

MMC(6,9,15)=2×32×5MMC(6{,}9,15) = 2 \times 3^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 22 = definição: fator primo de 6 · 323^{2} = definição: fator primo de 9 (e também de 6 e 15, mas com expoente 2) · 55 = definição: fator primo de 15

MMC=2×9×5=90=90 minutosMMC = 2 \times 9 \times 5 = 90 = \boxed{90\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o fator 5, achando MMC = 18, o que daria coincidências erradas.

Passo 2 — Calcular o MMC de 9 e 15

Precisamos saber quando G e H partem juntos, independentemente de F. Isso é o MMC dos intervalos de G e H.

Por que esta fórmula: Mesmo método: fatorar e tomar os maiores expoentes.

MMC(9,15)=32×5MMC(9{,}15) = 3^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 323^{2} = definição: fator de 9 · 55 = definição: fator de 15

MMC=9×5=45=45 minutosMMC = 9 \times 5 = 45 = \boxed{45\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 3 em vez de 3², achando 15, o que subestima as coincidências.

Passo 3 — Contar as partidas simultâneas de G e H

O intervalo total é de 6h às 8h, ou seja, 120 minutos. As coincidências de G e H ocorrem a cada 45 minutos, então precisamos contar quantas vezes isso acontece dentro do intervalo.

Por que esta fórmula: O número de ocorrências é o quociente da divisão do tempo total pelo período, considerando o início. Como o intervalo começa em 6h, as coincidências ocorrem em 6h + 45k, para k inteiro, desde que o horário seja menor ou igual a 8h.

ocorreˆncias=⌊12045⌋+1\text{ocorrências} = \left\lfloor \frac{120}{45} \right\rfloor + 1

De onde vem cada valor: 120120 = enunciado: intervalo de 6h às 8h em minutos · 4545 = passo 2: MMC(9,15)

ocorreˆncias=⌊2,666⌋+1=2+1=3\text{ocorrências} = \left\lfloor 2{,}666 \right\rfloor + 1 = 2 + 1 = 3

ocorreˆncias\text{ocorrências} = 3 vezes (6h45, 7h30, 8h15, mas 8h15 está fora, então 2 vezes)

NÃO CAIA NESSA!

Incluir 8h15, que está fora do intervalo, contando 3 em vez de 2.

Passo 4 — Contar as partidas de F no total

Para saber quantas vezes F parte sozinho, primeiro contamos todas as partidas de F no intervalo, depois subtraímos as que coincidem com G ou H.

Por que esta fórmula: F parte a cada 6 minutos, então o número de partidas é o número de múltiplos de 6 no intervalo de 0 a 120, incluindo o início e o fim.

partidas de F=1206+1\text{partidas de F} = \frac{120}{6} + 1

De onde vem cada valor: 120120 = enunciado: intervalo de 6h às 8h em minutos · 66 = enunciado: intervalo de F

partidas de F=20+1=21=21 partidas\text{partidas de F} = 20 + 1 = 21 = \boxed{21\ \text{partidas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1, contando 20 em vez de 21.

Passo 5 — Contar as partidas de F que coincidem com G ou H

Precisamos saber quantas partidas de F não são sozinhas, ou seja, quando F parte junto com G ou H. Isso ocorre nos múltiplos comuns de 6 e 9, e de 6 e 15.

Por que esta fórmula: F coincide com G a cada MMC(6,9) = 18 minutos, e com H a cada MMC(6,15) = 30 minutos. Mas cuidado: quando F coincide com G e H ao mesmo tempo (a cada 90 minutos), essa coincidência é contada duas vezes, então precisamos subtrair uma vez.

coincideˆncias=⌊12018⌋+⌊12030⌋−⌊12090⌋\text{coincidências} = \left\lfloor \frac{120}{18} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{120}{30} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{120}{90} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 120120 = enunciado: intervalo de 6h às 8h em minutos · 1818 = definição: MMC(6,9) · 3030 = definição: MMC(6,15) · 9090 = passo 1: MMC(6,9,15)

coincideˆncias=6+4−1=9=9 coincide^ncias\text{coincidências} = 6 + 4 - 1 = 9 = \boxed{9\ \text{coincid}ê\text{ncias}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair a coincidência tripla, contando 10 em vez de 9.

Passo 6 — Calcular as partidas de F sozinho

Subtraindo as coincidências do total de partidas de F, obtemos quantas vezes F parte sem G nem H.

Por que esta fórmula: Partidas sozinhas = total de partidas de F - partidas que coincidem com G ou H.

sozinhas=21−9\text{sozinhas} = 21 - 9

De onde vem cada valor: 2121 = passo 4 · 99 = passo 5

sozinhas=12=12 vezes\text{sozinhas} = 12 = \boxed{12\ \text{vezes}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir e subtrair as coincidências de G e H, em vez das coincidências de F.

Passo 7 — Calcular a diferença pedida

A pergunta quer o quanto F sozinho supera as partidas simultâneas de G e H. Já temos os dois números.

Por que esta fórmula: Diferença = partidas de F sozinho - partidas simultâneas de G e H.

diferenc¸a=12−2\text{diferença} = 12 - 2

De onde vem cada valor: 1212 = passo 6 · 22 = passo 3 (corrigido: 2 ocorrências dentro do intervalo)

diferenc¸a=10=10\text{diferença} = 10 = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 3 em vez de 2 para as coincidências de G e H, dando diferença 9.

Resposta: 10 (alternativa A)

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