Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2026

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 13 cm² — alternativa C.

A ideia por trás

A área de uma figura plana é a medida da superfície que ela ocupa. Quando a figura é desenhada sobre uma malha quadriculada, cada quadradinho tem área de 1 cm² (1 cm × 1 cm). Para figuras irregulares, como uma seta, não dá para contar apenas os quadradinhos inteiros, porque as bordas diagonais cortam quadradinhos ao meio. Por isso, usamos métodos exatos: decompor a figura em formas conhecidas (retângulos, triângulos) ou contar pontos da malha com o Teorema de Pick. O Teorema de Pick vale para polígonos com vértices sobre os pontos da malha e diz que a área é A = I + B/2 - 1, onde I é o número de pontos da malha no interior do polígono e B é o número de pontos no contorno. Cada ponto interior conta como 1 cm², cada ponto do contorno conta como meio cm², e subtrai-se 1 para ajustar. Esse método é exato e evita erros de contagem visual. A decomposição em formas conhecidas também é exata: soma-se as áreas de retângulos e triângulos que formam a figura. Esta questão cobra o cálculo de área de uma figura em malha quadriculada.

O que a questão dá

• malha quadriculada de 1 cm por 1 cm

• figura da seta com vértices nos cruzamentos da malha

O que queremos: a área da região limitada pela seta, em cm²

Passo 1 — Contar os pontos da malha no contorno

O Teorema de Pick precisa de duas contagens: pontos no contorno e pontos no interior. Começamos pelo contorno, que são os pontos da malha que ficam exatamente sobre a linha da seta, incluindo os vértices. Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma contagem direta na figura. Cada ponto da malha que toca a borda da seta conta como um ponto de contorno.

Passo 2 — Contar os pontos da malha no interior

O Teorema de Pick também exige o número de pontos da malha que estão dentro da seta, sem tocar a borda. Esses pontos contam como área cheia. Por que esta fórmula: Novamente é uma contagem direta: cada ponto da malha que está dentro da região da seta, sem estar no contorno, conta como um ponto interior.

Passo 3 — Aplicar o Teorema de Pick

Com as duas contagens prontas, o Teorema de Pick transforma a contagem de pontos em área. Cada ponto interior vale 1 cm², cada ponto do contorno vale meio cm², e subtrai-se 1 para compensar a contagem dupla dos vértices. Por que esta fórmula: A fórmula A = I + B/2 - 1 é o Teorema de Pick, que vale para qualquer polígono com vértices nos pontos da malha. É a forma exata de calcular a área sem decompor a figura.

De onde vem cada valor: $I$ = passo 2: 9 · $B$ = passo 1: 10

Resposta: 13 cm² — alternativa C