Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Números Primos e Divisibilidade — VUNESP 2026

MatemáticaNúmeros Primos e Divisibilidade
Código
vu117595
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de São José do Rio Preto - SP
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Agente Fiscal de Posturas
Em um museu, chegaram grupos de turistas das cidades A, B e C, cada grupo com o mesmo número de pessoas. Cada grupo foi dividido em subgrupos, cada subgrupo recebendo um guia para orientação. Com os turistas da cidade A, um subgrupo ficou com 12 pessoas, e os demais subgrupos ficaram com 8 pessoas cada. Com os turistas da cidade B, dois subgrupos ficaram, cada um, com 6 pessoas, e os demais subgrupos ficaram com 18 pessoas cada. Com os turistas da cidade C, três subgrupos ficaram, cada um, com 4 pessoas, e os demais subgrupos ficaram com 24 pessoas cada.Sabendo que cada um dos grupos iniciais dessas cidades tinha mais de 300 e menos de 400 pessoas, o número de guias alocados para os subgrupos formados com esses turistas foi
  1. A78.
  2. B85.
  3. C89.
  4. D86.
  5. E74.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 86.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 86 guias (alternativa D).

A ideia por trás

Este problema trata de divisibilidade e múltiplos comuns. Quando um número é dividido em partes iguais, o total deve ser múltiplo do tamanho de cada parte. Aqui, cada grupo de turistas tem o mesmo total N, e as condições de divisão impõem que N menos uma quantidade fixa seja múltiplo de certos números. O MMC (mínimo múltiplo comum) é a ferramenta para encontrar o menor número que é múltiplo de vários números ao mesmo tempo. Nesta questão, precisamos achar o N comum entre 300 e 400 que satisfaça as três condições, e então calcular quantos subgrupos (guias) cada cidade formou.

O que a questão dá

  • grupo A: 1 subgrupo de 12 e demais de 8

  • grupo B: 2 subgrupos de 6 e demais de 18

  • grupo C: 3 subgrupos de 4 e demais de 24

  • cada grupo inicial tem entre 300 e 400 pessoas

O que queremos: o número total de guias (subgrupos) alocados

Passo 1 — Montar as condições de divisibilidade

Precisamos traduzir as informações do enunciado em equações. Para cada cidade, o total N menos as pessoas dos subgrupos especiais deve ser divisível pelo tamanho dos subgrupos restantes, pois eles dividem exatamente o restante.

Por que esta fórmula: Para A: um subgrupo de 12 e os demais de 8, então N - 12 é múltiplo de 8. Para B: dois subgrupos de 6 (total 12) e os demais de 18, então N - 12 é múltiplo de 18. Para C: três subgrupos de 4 (total 12) e os demais de 24, então N - 12 é múltiplo de 24.

N−12≡0(mod8),N−12≡0(mod18),N−12≡0(mod24)N - 12 \equiv 0 \pmod{8}, \quad N - 12 \equiv 0 \pmod{18}, \quad N - 12 \equiv 0 \pmod{24}

De onde vem cada valor: NN = enunciado: total de pessoas em cada grupo (mesmo para A, B, C) · 1212 = enunciado: 1×12 para A, 2×6 para B, 3×4 para C · 88 = enunciado: demais subgrupos de A · 1818 = enunciado: demais subgrupos de B · 2424 = enunciado: demais subgrupos de C

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o 12 é o total dos subgrupos especiais, não apenas um número fixo.

Passo 2 — Calcular o MMC de 8, 18 e 24

Como N - 12 deve ser múltiplo de 8, 18 e 24 ao mesmo tempo, ele deve ser múltiplo do mínimo múltiplo comum desses números. O MMC é o menor número que é divisível por todos eles.

Por que esta fórmula: Para achar o MMC, fatoramos cada número: 8=2³, 18=2·3², 24=2³·3. O MMC é o produto dos maiores expoentes: 2³·3² = 8·9 = 72.

mmc(8,18,24)=72\text{mmc}(8{,}18{,}24) = 72

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: tamanho dos subgrupos de A · 1818 = enunciado: tamanho dos subgrupos de B · 2424 = enunciado: tamanho dos subgrupos de C

mmc(8,18,24)=23⋅32=72=72\text{mmc}(8{,}18{,}24) = 2^{3} \cdot 3^{2} = 72 = \boxed{72}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular o MMC errado, por exemplo, usando 8×18×24 sem simplificar.

Passo 3 — Encontrar o total N entre 300 e 400

Sabemos que N - 12 é múltiplo de 72, então N = 72m + 12. Precisamos achar o valor de m que faz N ficar entre 300 e 400.

Por que esta fórmula: Testamos valores de m: m=4 dá N=300 (não serve, pois é 'mais de 300'), m=5 dá N=372 (serve), m=6 dá N=444 (passa de 400). Portanto, N=372.

N=72m+12N = 72m + 12

De onde vem cada valor: 7272 = passo 2: MMC · 1212 = passo 1: total dos subgrupos especiais · mm = número inteiro positivo

N=72⋅5+12=360+12=372=372 pessoasN = 72 \cdot 5 + 12 = 360 + 12 = 372 = \boxed{372\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir N=300, mas o enunciado diz 'mais de 300'.

Passo 4 — Calcular o número de guias da cidade A

Com N=372, podemos calcular quantos subgrupos de 8 pessoas existem na cidade A, além do subgrupo de 12. O número de subgrupos é o número de guias.

Por que esta fórmula: O restante após o subgrupo de 12 é 372-12=360. Dividindo por 8, obtemos 45 subgrupos de 8. Somando o subgrupo de 12, total de guias = 1 + 45 = 46.

guiasA=1+N−128\text{guias}_A = 1 + \frac{N - 12}{8}

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: um subgrupo de 12 · NN = passo 3: 372 · 1212 = enunciado: pessoas no subgrupo especial · 88 = enunciado: tamanho dos demais subgrupos

guiasA=1+372−128=1+3608=1+45=46=46 guias\text{guias}_A = 1 + \frac{372 - 12}{8} = 1 + \frac{360}{8} = 1 + 45 = 46 = \boxed{46\ \text{guias}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o subgrupo de 12.

Passo 5 — Calcular o número de guias da cidade B

Analogamente, para a cidade B, temos dois subgrupos de 6 (total 12) e os demais de 18. Calculamos quantos subgrupos de 18 existem.

Por que esta fórmula: O restante é 372-12=360. Dividindo por 18, obtemos 20 subgrupos. Somando os dois subgrupos de 6, total de guias = 2 + 20 = 22.

guiasB=2+N−1218\text{guias}_B = 2 + \frac{N - 12}{18}

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: dois subgrupos de 6 · NN = passo 3: 372 · 1212 = enunciado: total dos subgrupos especiais (2×6) · 1818 = enunciado: tamanho dos demais subgrupos

guiasB=2+372−1218=2+36018=2+20=22=22 guias\text{guias}_B = 2 + \frac{372 - 12}{18} = 2 + \frac{360}{18} = 2 + 20 = 22 = \boxed{22\ \text{guias}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 6 em vez de 12 no numerador.

Passo 6 — Calcular o número de guias da cidade C

Para a cidade C, temos três subgrupos de 4 (total 12) e os demais de 24. Calculamos quantos subgrupos de 24 existem.

Por que esta fórmula: O restante é 372-12=360. Dividindo por 24, obtemos 15 subgrupos. Somando os três subgrupos de 4, total de guias = 3 + 15 = 18.

guiasC=3+N−1224\text{guias}_C = 3 + \frac{N - 12}{24}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: três subgrupos de 4 · NN = passo 3: 372 · 1212 = enunciado: total dos subgrupos especiais (3×4) · 2424 = enunciado: tamanho dos demais subgrupos

guiasC=3+372−1224=3+36024=3+15=18=18 guias\text{guias}_C = 3 + \frac{372 - 12}{24} = 3 + \frac{360}{24} = 3 + 15 = 18 = \boxed{18\ \text{guias}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 4 em vez de 12 no numerador.

Passo 7 — Somar os guias das três cidades

O problema pede o número total de guias alocados para todos os subgrupos. Já temos os guias de cada cidade, então basta somá-los.

Por que esta fórmula: Total = guias_A + guias_B + guias_C.

total=guiasA+guiasB+guiasC\text{total} = \text{guias}_A + \text{guias}_B + \text{guias}_C

De onde vem cada valor: guiasA\text{guias}_A = passo 4: 46 · guiasB\text{guias}_B = passo 5: 22 · guiasC\text{guias}_C = passo 6: 18

total=46+22+18=86=86 guias\text{total} = 46 + 22 + 18 = 86 = \boxed{86\ \text{guias}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma simples.

Resposta: 86 guias (alternativa D)

Link permanente: /questoes/vu117595