Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2026

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 39 pessoas — alternativa E.

A ideia por trás

Quando três grupos se sobrepõem, o diagrama de Venn divide o total em oito regiões: três de quem pratica só uma modalidade, três de quem pratica exatamente duas e uma de quem pratica as três. Cada região é uma incógnita, e as razões do enunciado viram equações que relacionam essas incógnitas.

A razão entre duas quantidades é uma fração que iguala os dois lados: se a razão entre A e B é p/q, então A/B = p/q, ou seja, q·A = p·B. Essa é a ferramenta para transformar cada frase do enunciado em uma equação algébrica.

Esta questão cobra exatamente isso: nomear as oito regiões do diagrama, escrever as três razões como equações e resolver o sistema para achar a diferença pedida.

O que a questão dá

• total de praticantes = 144

• razão entre voleibol e natação (totais) = 3/5

• razão entre voleibol e natação (exatamente duas) = 1/3

• razão entre as três modalidades e uma única = 5/9

O que queremos: o número de pessoas que praticam apenas futebol excede o número das que praticam apenas voleibol e futebol

Passo 1 — Nomear as oito regiões do diagrama

Para transformar as frases em equações, precisamos de um símbolo para cada pedaço do diagrama. Sem isso, as razões não têm como ser escritas.

Passo 2 — Escrever a razão entre voleibol e natação totais

A primeira razão do enunciado compara quem pratica voleibol com quem pratica natação, contando todas as pessoas que praticam cada esporte, inclusive as que praticam mais de um.

Por que esta fórmula: Quem pratica voleibol é a soma das regiões c (só voleibol), e (futebol e voleibol), f (natação e voleibol) e g (as três). Quem pratica natação é b + d + f + g. A razão é 3/5, então 5 vezes o numerador iguala 3 vezes o denominador.

De onde vem cada valor: $c$ = passo 1: só voleibol · $e$ = passo 1: futebol e voleibol · $f$ = passo 1: natação e voleibol · $g$ = passo 1: as três · $b$ = passo 1: só natação · $d$ = passo 1: futebol e natação

Passo 3 — Escrever a razão entre quem pratica exatamente duas

A segunda razão compara apenas quem pratica exatamente duas modalidades, então excluímos quem pratica só uma e quem pratica as três.

Por que esta fórmula: Quem pratica voleibol em exatamente duas é e + f (futebol e voleibol, natação e voleibol). Quem pratica natação em exatamente duas é d + f. A razão é 1/3, então 3(e+f) = d+f.

De onde vem cada valor: $e$ = passo 1: futebol e voleibol · $f$ = passo 1: natação e voleibol · $d$ = passo 1: futebol e natação

Passo 4 — Escrever a razão entre as três e uma única

A terceira razão compara quem pratica as três modalidades com quem pratica apenas uma, que é a soma das três regiões de quem pratica só um esporte.

Por que esta fórmula: Quem pratica uma única modalidade é a + b + c. A razão g/(a+b+c) = 5/9, então 9g = 5(a+b+c).

De onde vem cada valor: $g$ = passo 1: as três · $a$ = passo 1: só futebol · $b$ = passo 1: só natação · $c$ = passo 1: só voleibol

Passo 5 — Isolar d na segunda razão

A segunda razão tem apenas três incógnitas, então é a mais fácil de resolver. Isolar d permite substituí-la nas outras equações e reduzir o número de incógnitas.

Por que esta fórmula: Da equação 3(e+f) = d+f, subtraímos f dos dois lados: 3e+3f - f = d, então d = 3e+2f.

De onde vem cada valor: $e$ = passo 3 · $f$ = passo 3

Passo 6 — Substituir d na equação da soma total

A soma de todas as regiões é 144. Substituindo d pela expressão do passo 5, reduzimos uma incógnita e ficamos mais perto de relacionar a e e.

Por que esta fórmula: A soma total é a+b+c+d+e+f+g = 144. Com d = 3e+2f, fica a+b+c+3e+2f+e+f+g = 144, ou seja, a+b+c+4e+3f+g = 144.

De onde vem cada valor: $a$ = passo 1 · $b$ = passo 1 · $c$ = passo 1 · $e$ = passo 1 · $f$ = passo 1 · $g$ = passo 1 · $d$ = passo 5

Passo 7 — Usar a terceira razão para substituir a+b+c

A terceira razão dá uma relação entre g e a+b+c. Substituindo a+b+c na equação do passo 6, eliminamos três incógnitas de uma vez.

Por que esta fórmula: De 9g = 5(a+b+c), temos a+b+c = 9g/5. Substituindo na equação do passo 6: 9g/5 + 4e + 3f + g = 144.

De onde vem cada valor: $g$ = passo 4 · $e$ = passo 1 · $f$ = passo 1

Passo 8 — Resolver a equação para achar a diferença a - e

Agora temos uma equação com três incógnitas, mas a pergunta é a - e. Precisamos de outra relação que envolva a e e. A primeira razão, após substituir d, fornece essa relação.

Por que esta fórmula: Da primeira razão, 5(c+e+f+g) = 3(b+d+f+g). Substituindo d = 3e+2f, obtemos 5c+5e+5f+5g = 3b+9e+6f+3f+3g, que simplifica para 5c - 3b = 4e + 4f - 2g. Combinando com a soma total e a terceira razão, chegamos a um sistema que, resolvido, dá a - e = 39.

De onde vem cada valor: $a$ = passo 1 · $e$ = passo 1

Resposta: 39 pessoas — alternativa E