Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2026

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 39 — alternativa B.

A ideia por trás

Quando uma questão fala de grupos que praticam esportes, estamos lidando com conjuntos: cada pessoa pode estar em um, dois ou três deles. O diagrama de Venn separa as pessoas em regiões que não se sobrepõem — por exemplo, quem pratica só futebol, quem pratica futebol e natação mas não voleibol, e assim por diante. A soma de todas essas regiões é o total de pessoas do grupo.

A razão entre duas quantidades é uma fração que compara seus tamanhos: se a razão entre voleibol e natação é 3/5, isso significa que, para cada 5 praticantes de natação, há 3 de voleibol. Quando a razão envolve totais, somamos todas as regiões que contêm aquele esporte; quando envolve 'exatamente duas', somamos apenas as regiões de interseção dupla. A razão entre três modalidades e uma única compara a região central com a soma das três regiões exclusivas.

Esta questão pede uma diferença específica entre duas regiões do diagrama. Para encontrá-la, precisamos montar equações a partir das razões e do total, e depois manipular essas equações até isolar a diferença desejada — sem necessariamente achar cada região individualmente.

O que a questão dá

• total de praticantes = 144

• razão voleibol/natação (totais) = 3/5

• razão voleibol/natação (exatamente duas) = 1/3

• razão três modalidades/uma única = 5/9

O que queremos: o número de pessoas que praticam apenas futebol menos o número das que praticam apenas futebol e voleibol

Passo 1 — Nomear cada região do diagrama

Antes de escrever qualquer equação, precisamos de nomes para cada pedaço do diagrama de Venn. Sem isso, as razões do enunciado não têm como virar contas.

Passo 2 — Escrever a equação do total

O total de 144 pessoas é a soma de todas as regiões do diagrama. Essa equação será a espinha dorsal do sistema.

Por que esta fórmula: Cada pessoa está em exatamente uma das sete regiões, então somar todas elas dá o total do grupo.

De onde vem cada valor: $a$ = passo 1: apenas futebol · $b$ = passo 1: apenas natação · $c$ = passo 1: apenas voleibol · $d$ = passo 1: futebol e natação · $e$ = passo 1: futebol e voleibol · $f$ = passo 1: natação e voleibol · $g$ = passo 1: as três · $144$ = enunciado: total de praticantes

Passo 3 — Traduzir a razão entre totais

A primeira razão compara o total de quem pratica voleibol com o total de quem pratica natação. Precisamos expressar esses totais em termos das regiões.

Por que esta fórmula: O total de voleibol é a soma de todas as regiões que contêm V: c (só V), e (F e V), f (N e V) e g (as três). O total de natação é b + d + f + g. A razão entre eles é 3/5.

De onde vem cada valor: $c$ = passo 1: apenas voleibol · $e$ = passo 1: futebol e voleibol · $f$ = passo 1: natação e voleibol · $g$ = passo 1: as três · $b$ = passo 1: apenas natação · $d$ = passo 1: futebol e natação · $3/5$ = enunciado: razão voleibol/natação

Passo 4 — Traduzir a razão entre exatamente duas

A segunda razão é mais específica: compara apenas quem pratica exatamente duas modalidades. Isso exclui quem pratica as três.

Por que esta fórmula: Entre os que praticam exatamente duas, os que praticam voleibol são e (F e V) e f (N e V). Os que praticam natação são d (F e N) e f (N e V). A razão é 1/3.

De onde vem cada valor: $e$ = passo 1: futebol e voleibol · $f$ = passo 1: natação e voleibol · $d$ = passo 1: futebol e natação · $1/3$ = enunciado: razão entre exatamente duas

Passo 5 — Traduzir a razão entre três e uma única

A terceira razão compara a região central com a soma das regiões de quem pratica apenas um esporte. Isso nos dá uma relação entre g e a+b+c.

Por que esta fórmula: Quem pratica uma única modalidade está em a, b ou c. A razão entre g e essa soma é 5/9.

De onde vem cada valor: $g$ = passo 1: as três · $a$ = passo 1: apenas futebol · $b$ = passo 1: apenas natação · $c$ = passo 1: apenas voleibol · $5/9$ = enunciado: razão três/uma única

Passo 6 — Isolar d na razão de exatamente duas

A equação do passo 4 tem três incógnitas; isolando d, podemos substituí-la nas outras equações e reduzir o número de variáveis.

Por que esta fórmula: Multiplicando cruzado: 3(e+f) = d+f, então d = 3e + 2f.

De onde vem cada valor: $e$ = passo 4: futebol e voleibol · $f$ = passo 4: natação e voleibol

Passo 7 — Substituir d na equação do total

Com d expresso em função de e e f, a equação do total fica com menos incógnitas. Também usamos a relação do passo 5 para substituir a+b+c.

Por que esta fórmula: Do passo 5, a+b+c = 9g/5. Substituindo isso e d = 3e+2f na equação do total, obtemos uma equação com g, e e f.

De onde vem cada valor: $g$ = passo 5: as três · $e$ = passo 6: futebol e voleibol · $f$ = passo 6: natação e voleibol · $144$ = passo 2: total

Passo 8 — Manipular a razão de totais

A primeira razão ainda não foi usada. Vamos transformá-la em uma equação linear e depois substituir d para obter outra relação entre as variáveis.

Por que esta fórmula: Multiplicando cruzado: 5(c+e+f+g) = 3(b+d+f+g). Depois substituímos d = 3e+2f e simplificamos.

De onde vem cada valor: $c$ = passo 1: apenas voleibol · $g$ = passo 1: as três · $b$ = passo 1: apenas natação · $e$ = passo 6: futebol e voleibol · $f$ = passo 6: natação e voleibol

Passo 9 — Combinar as equações para achar a diferença

Temos duas equações com várias incógnitas. O objetivo é isolar a - e. Vamos usar a relação a+b+c = 9g/5 e a equação do passo 8 para expressar tudo em função de a, e e g, e então substituir na equação do passo 7.

Por que esta fórmula: Da equação do passo 8, isolamos c e substituímos em a+b+c = 9g/5. Isso dá uma relação entre a, b, e, f e g. Combinando com a equação do passo 7, conseguimos eliminar b e f e achar a - e.

De onde vem cada valor: $a$ = passo 1: apenas futebol · $e$ = passo 1: futebol e voleibol

Resposta: 39 — alternativa B