Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2026

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 39 — alternativa E.

A ideia por trás

Quando três grupos se sobrepõem, o diagrama de Venn é a ferramenta que organiza as contagens: cada pessoa cai em exatamente uma das sete regiões (apenas um esporte, exatamente dois, ou os três). A soma dessas regiões é o total do grupo, e cada razão do enunciado vira uma equação entre elas.

A razão entre dois totais é a divisão das somas das regiões correspondentes. Por exemplo, quem pratica voleibol está nas regiões 'apenas voleibol', 'futebol e voleibol', 'natação e voleibol' e 'os três'. Já quem pratica exatamente duas modalidades está nas três regiões de interseção dupla, sem a tripla. Montar essas somas e igualar às razões dadas é o que transforma o texto em equações.

Esta questão pede a diferença entre duas regiões específicas do diagrama: 'apenas futebol' e 'futebol e voleibol (sem natação)'. Para achá-la, precisamos resolver o sistema formado pelas razões e pelo total, usando substituição para reduzir o número de incógnitas.

O que a questão dá

• total de praticantes = 144

• razão voleibol/natação (total) = 3/5

• razão voleibol/natação (exatamente duas) = 1/3

• razão três modalidades/uma única = 5/9

O que queremos: o número de pessoas que praticam apenas futebol excede o número das que praticam apenas voleibol e futebol

Passo 1 — Nomear as sete regiões do diagrama

Antes de qualquer conta, precisamos de nomes para cada pedaço do diagrama de Venn, porque as razões do enunciado falam de somas desses pedaços. Sem nomes, não há equações.

Passo 2 — Escrever a equação do total

O total de 144 é a soma de todas as regiões, porque cada pessoa está em exatamente uma delas. Essa é a primeira equação que amarra as incógnitas.

Por que esta fórmula: A união dos três conjuntos é a soma das sete regiões disjuntas do diagrama de Venn.

De onde vem cada valor: $a$ = passo 1: apenas futebol · $b$ = passo 1: apenas natação · $c$ = passo 1: apenas voleibol · $d$ = passo 1: futebol e natação · $e$ = passo 1: futebol e voleibol · $f$ = passo 1: natação e voleibol · $g$ = passo 1: as três modalidades

Passo 3 — Montar a razão entre voleibol e natação

A primeira razão do enunciado compara os totais de quem pratica voleibol e natação. Precisamos expressar esses totais como somas de regiões para virar equação.

Por que esta fórmula: Quem pratica voleibol está em c, e, f e g; quem pratica natação está em b, d, f e g. A razão é a divisão dessas somas.

De onde vem cada valor: $c$ = passo 1: apenas voleibol · $e$ = passo 1: futebol e voleibol · $f$ = passo 1: natação e voleibol · $g$ = passo 1: as três modalidades · $b$ = passo 1: apenas natação · $d$ = passo 1: futebol e natação

Passo 4 — Montar a razão entre quem pratica exatamente duas

A segunda razão é mais restrita: compara apenas quem pratica exatamente duas modalidades. Isso exclui a região g, então as somas mudam.

Por que esta fórmula: Entre os que praticam exatamente duas, voleibol está em e e f; natação está em d e f. A razão é a divisão dessas somas.

De onde vem cada valor: $e$ = passo 1: futebol e voleibol · $f$ = passo 1: natação e voleibol · $d$ = passo 1: futebol e natação

Passo 5 — Montar a razão entre as três e uma única

A terceira razão liga a região g (as três) com a soma das regiões de uma única modalidade (a, b, c). Isso dá uma relação direta entre g e o resto.

Por que esta fórmula: Quem pratica as três é g; quem pratica uma única é a + b + c. A razão é a divisão.

De onde vem cada valor: $g$ = passo 1: as três modalidades · $a$ = passo 1: apenas futebol · $b$ = passo 1: apenas natação · $c$ = passo 1: apenas voleibol

Passo 6 — Isolar d na razão das duas modalidades

A razão do passo 4 tem duas incógnitas, d e f, além de e. Isolar d permite substituí-la nas outras equações, reduzindo o sistema.

Por que esta fórmula: Multiplicando cruzado: 3(e + f) = d + f, então d = 3e + 2f.

De onde vem cada valor: $e$ = passo 1: futebol e voleibol · $f$ = passo 1: natação e voleibol

Passo 7 — Substituir d e g nas equações

Com d = 3e + 2f e g = 5/9(a+b+c), podemos eliminar d e g das equações do total e da primeira razão, ficando com equações só em a, b, c, e, f.

Por que esta fórmula: Substituição é o método para reduzir o número de incógnitas: trocamos d e g pelas expressões equivalentes.

Passo 8 — Resolver o sistema e achar a diferença

Depois das substituições, o sistema se resolve e encontramos os valores das regiões. O que a questão pede é a - e, que sai direto dos valores encontrados.

Por que esta fórmula: Com as equações reduzidas, isolamos as incógnitas e calculamos a diferença pedida.

Resposta: 39 — alternativa E