Um casal vendeu um carro por R$ 21.000,00 e pensou, inicialmente, em repartir esse valor em partes iguais entre certo número n de familiares que estavam precisando de recursos. Porém, ao tomar conhecimento que, além daqueles familiares, 2 conhecidos do casal também estavam passando por dificuldades financeiras, o casal decidiu então repartir o valor da venda do carro entre essas (n + 2) pessoas, e com isso cada pessoa recebeu R$ 2.800,00 a menos do que as n pessoas receberiam, cada uma, inicialmente.Se instantes antes de fazer o pagamento, mais uma pessoa for incluída na divisão do valor da venda do carro, em partes iguais para todas, cada uma dessas (n + 3) pessoas receberá
AR$ 3.000,00.
BR$ 2.625,00.
CR$ 2.800,00.
DR$ 3.500,00.
ER$ 3.225,00.
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GabaritoD — R$ 3.500,00.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 3.500,00 (alternativa D).
A ideia por trás
A divisão em partes iguais é uma operação em que o valor total é repartido igualmente entre um número de pessoas: cada parcela é o quociente entre o total e a quantidade de beneficiários. Quando o número de pessoas aumenta, a parcela diminui, e essa relação inversa é o coração do problema. A diferença entre duas parcelas, quando o número de pessoas muda, gera uma equação que permite descobrir o número original de pessoas. Nesta questão, a diferença de R$ 2.800,00 entre as divisões por n e por n+2 pessoas é a chave para achar n, e depois basta dividir o total por n+3.
O que a questão dá
total a dividir = R$ 21.000,00
divisão inicial: n pessoas
divisão com 2 a mais: n+2 pessoas
diferença entre as parcelas = R$ 2.800,00
O que queremos: o valor que cada pessoa recebe quando a divisão é feita entre n+3 pessoas
Passo 1 — Escrever as parcelas em função de n
Precisamos traduzir o enunciado em linguagem matemática. Cada parcela é o total dividido pelo número de pessoas, então a parcela inicial é 21000/n e a parcela com duas pessoas a mais é 21000/(n+2).
Por que esta fórmula: A divisão em partes iguais é exatamente isso: total ÷ número de pessoas. Não há outra fórmula.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 21.000,00 · = enunciado: número inicial de familiares · = enunciado: dois conhecidos a mais
NÃO CAIA NESSA!
Confundir qual parcela é maior: como há mais pessoas, a parcela com n+2 é menor.
Passo 2 — Montar a equação da diferença
O enunciado diz que a diferença entre as duas parcelas é R$ 2.800,00. Como a parcela com mais pessoas é menor, subtraímos a menor da maior para obter a diferença positiva.
Por que esta fórmula: A diferença entre dois valores é a subtração do menor pelo maior. Aqui, P_n é maior que P_{n+2}, então P_n - P_{n+2} = 2800.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1 · = enunciado: R$ 2.800,00
NÃO CAIA NESSA!
Escrever a diferença ao contrário, resultando em valor negativo.
Passo 3 — Simplificar a equação
Para resolver a equação, precisamos combiná-la em uma única fração. Isso é feito tirando o mínimo múltiplo comum dos denominadores n e n+2, que é n(n+2).
Por que esta fórmula: A subtração de frações com denominadores diferentes exige um denominador comum. Aqui, o MMC é o produto dos denominadores, pois são primos entre si.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1 · = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar o numerador ao colocar no denominador comum.
Passo 4 — Simplificar o numerador
O numerador tem termos semelhantes que podem ser simplificados: 21000(n+2) - 21000n = 21000·2 = 42000. Isso reduz a equação a uma forma mais simples.
Por que esta fórmula: Distributiva e cancelamento de termos iguais.
De onde vem cada valor: = passo 3: 21000·2 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Errar a conta 21000·2 = 42000.
Passo 5 — Isolar n(n+2)
Para encontrar n, precisamos isolá-lo. Multiplicamos ambos os lados por n(n+2) e depois dividimos por 2800, obtendo n(n+2) = 15.
Por que esta fórmula: Operações inversas: multiplicação e divisão.
De onde vem cada valor: = passo 4 · = enunciado: R$ 2.800,00
NÃO CAIA NESSA!
Dividir 2800 por 42000 em vez do contrário.
Passo 6 — Resolver a equação do 2º grau
A equação n(n+2)=15 é uma equação do 2º grau. Expandindo e resolvendo por Bhaskara, encontramos a raiz positiva n=3.
Por que esta fórmula: Equação do 2º grau na forma ax²+bx+c=0, resolvida pela fórmula de Bhaskara.
De onde vem cada valor: = passo 5: n·n · = passo 5: n·2 · = passo 5: 15 movido para o outro lado
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer a raiz negativa, mas aqui só interessa a positiva.
Passo 7 — Calcular o número final de pessoas
O problema pede o valor com n+3 pessoas. Como já sabemos n=3, o número final é 3+3=6.
Por que esta fórmula: Soma simples.
De onde vem cada valor: = passo 6: n=3 · = enunciado: mais uma pessoa além das n+2
NÃO CAIA NESSA!
Usar n+2 em vez de n+3.
Passo 8 — Dividir o total pelo número final
Agora que sabemos que são 6 pessoas, calculamos a parcela final: 21000 ÷ 6 = 3500.
Por que esta fórmula: Divisão em partes iguais: total ÷ número de pessoas.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 21.000,00 · = passo 7