Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2026

MatemáticaÁlgebra
Código
vu119183
Banca
VUNESP
Órgão
RIOPRETOPREV
Ano
2026
Nível
Fundamental
Cargo
Agente Previdenciário
Laura saiu de casa com uma certa quantia na bolsa. Fez quatro compras sucessivas com as seguintes despesas:1ª compra: gastou a décima parte do que tinha na bolsa.2ª compra: gastou a nona parte do que havia sobrado do dinheiro após a 1ª compra.3ª compra: gastou a oitava parte do que havia sobrado do dinheiro após a 2ª compra.4ª compra: gastou a metade do que havia sobrado do dinheiro após a 3ª compra.Depois dessas quatro compras, Laura verificou que ainda estava com 728 reais. Quanto Laura gastou a mais na 4a compra em relação à 3ª compra?
  1. A624 reais
  2. B520 reais
  3. C416 reais
  4. D380 reais
  5. E348 reais
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 520 reais

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 520 reais (alternativa B).

A ideia por trás

Este problema trata de frações sucessivas: a cada compra, Laura gasta uma fração do valor que tem naquele momento, e o que sobra é a fração complementar. Por exemplo, se ela gasta 1/10, sobram 9/10; se depois gasta 1/9 do que sobrou, restam 8/9 desse valor. A grandeza central é o valor restante após cada etapa, que vai se reduzindo progressivamente. A relação que governa é que o valor final é o inicial multiplicado pelas frações complementares de cada etapa. Quando uma fração cresce, o restante diminui; quando a fração é maior, o gasto é maior. Nesta questão, precisamos descobrir o valor inicial a partir do final e depois calcular os gastos de cada compra para comparar o 4º com o 3º.

O que a questão dá

  • valor final após as 4 compras = 728 reais

  • 1ª compra: gastou 1/10 do que tinha

  • 2ª compra: gastou 1/9 do que sobrou

  • 3ª compra: gastou 1/8 do que sobrou

  • 4ª compra: gastou 1/2 do que sobrou

O que queremos: a diferença entre o gasto da 4ª compra e o da 3ª compra

Passo 1 — Montar a expressão do valor final

Precisamos relacionar o valor inicial com o final. Como cada compra gasta uma fração do que sobrou, o que resta após cada compra é a fração complementar. Assim, o valor final é o inicial multiplicado por todas as frações complementares.

Por que esta fórmula: Se ela gasta 1/10, sobram 9/10; se gasta 1/9 do que sobrou, sobram 8/9; e assim por diante. Multiplicamos as frações complementares porque cada etapa age sobre o valor já reduzido.

728=x⋅910⋅89⋅78⋅12728 = x \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{2}

De onde vem cada valor: 728728 = enunciado: valor final · xx = valor inicial (incógnita) · 910\frac{9}{10} = complemento de 1/10 (1 - 1/10) · 89\frac{8}{9} = complemento de 1/9 (1 - 1/9) · 78\frac{7}{8} = complemento de 1/8 (1 - 1/8) · 12\frac{1}{2} = complemento de 1/2 (1 - 1/2)

728=x⋅910⋅89⋅78⋅12728 = x \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Usar as frações de gasto (1/10, 1/9, ...) em vez das complementares (9/10, 8/9, ...) — isso inverte o problema.

Passo 2 — Simplificar as frações

As frações têm numeradores e denominadores que se cancelam, o que facilita a conta. Simplificar agora evita multiplicar números grandes.

Por que esta fórmula: Na multiplicação de frações, podemos cancelar fatores comuns entre numerador e denominador. Aqui, 9 cancela com 9, 8 com 8, e sobra 7/20.

728=x⋅720728 = x \cdot \frac{7}{20}

De onde vem cada valor: 728728 = passo 1 · xx = passo 1 · 720\frac{7}{20} = simplificação de 910\frac{9}{10} ⋅\cdot 89\frac{8}{9} ⋅\cdot 78\frac{7}{8} ⋅\cdot 12\frac{1}{2}

728=x⋅720728 = x \cdot \frac{7}{20}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de cancelar e multiplicar tudo, gerando números grandes e erros.

Passo 3 — Isolar o valor inicial x

Com a equação simplificada, podemos encontrar x dividindo ambos os lados por 7/20, o que equivale a multiplicar pelo inverso.

Por que esta fórmula: Para isolar x, dividimos os dois lados por 7/20. Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso (20/7).

x=728⋅207x = 728 \cdot \frac{20}{7}

De onde vem cada valor: 728728 = passo 2 · 207\frac{20}{7} = inverso de 7/20

x=728⋅207=2080 reaisx = 728 \cdot \frac{20}{7} = \boxed{2080\ \text{reais}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar por 7/20 em vez de 20/7 — isso daria um valor muito menor.

Passo 4 — Calcular o gasto da 3ª compra

Precisamos do valor gasto na 3ª compra para comparar com a 4ª. A 3ª compra gasta 1/8 do que sobrou após a 2ª compra. Vamos calcular o que sobrou após a 2ª compra.

Por que esta fórmula: Após a 1ª compra, sobram 9/10 de x; após a 2ª, sobram 8/9 desse valor. O gasto da 3ª é 1/8 desse montante.

G3=18⋅(x⋅910⋅89)G_3 = \frac{1}{8} \cdot \left( x \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \right)

De onde vem cada valor: 18\frac{1}{8} = enunciado: 3ª compra gasta 1/8 do que sobrou · xx = passo 3: 2080 · 910\frac{9}{10} = complemento da 1ª compra · 89\frac{8}{9} = complemento da 2ª compra

G3=18⋅(2080⋅910⋅89)=208 reaisG_3 = \frac{1}{8} \cdot \left( 2080 \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \right) = \boxed{208\ \text{reais}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 1/8 de 2080 diretamente, ignorando que é 1/8 do que sobrou, não do total.

Passo 5 — Calcular o gasto da 4ª compra

A 4ª compra gasta metade do que sobrou após a 3ª compra. Precisamos desse valor para comparar com o gasto da 3ª.

Por que esta fórmula: Após a 3ª compra, sobra 7/8 do valor que havia antes. O gasto da 4ª é 1/2 desse restante.

G4=12⋅(x⋅910⋅89⋅78)G_4 = \frac{1}{2} \cdot \left( x \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \right)

De onde vem cada valor: 12\frac{1}{2} = enunciado: 4ª compra gasta 1/2 do que sobrou · xx = passo 3: 2080 · 910\frac{9}{10} = complemento da 1ª compra · 89\frac{8}{9} = complemento da 2ª compra · 78\frac{7}{8} = complemento da 3ª compra

G4=12⋅(2080⋅910⋅89⋅78)=728 reaisG_4 = \frac{1}{2} \cdot \left( 2080 \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \right) = \boxed{728\ \text{reais}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a 4ª compra é 1/2 de 2080, o que daria 1040, mas é 1/2 do que sobrou após a 3ª.

Passo 6 — Subtrair o gasto da 3ª do da 4ª

A pergunta pede quanto a 4ª compra foi maior que a 3ª. Com os dois gastos calculados, basta subtrair.

Por que esta fórmula: A diferença entre dois valores é a subtração do menor do maior.

D=G4−G3D = G_4 - G_3

De onde vem cada valor: G4G_4 = passo 5: 728 · G3G_3 = passo 4: 208

D=728−208=520 reaisD = 728 - 208 = \boxed{520\ \text{reais}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (208 - 728) ou usar valores errados dos passos anteriores.

Resposta: 520 reais (alternativa B)

Link permanente: /questoes/vu119183