Um teatro tem 1.500 lugares e três valores de ingressos, dependendo do setor escolhido. No setor A, o valor de cada ingresso é de R$ 150,00; no setor B, de R$ 100,00; e no setor C, o valor de cada ingresso é de R$ 75,00. A quantidade de ingressos para o setor C é o dobro da quantidade de ingressos para o setor B, e, se todos os ingressos forem vendidos aos valores identificados, o valor total das vendas é R$ 185.000,00.Isso significa que a quantidade de ingressos no setor B é:
A150.
B200.
C250.
D300.
E350.
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GabaritoB — 200.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 200 ingressos (alternativa B).
A ideia por trás
Este problema trata de equações do 1º grau com uma incógnita, usadas para modelar situações de compra e venda. A arrecadação total é a soma do que cada setor rendeu, e cada setor rende o preço do ingresso vezes a quantidade vendida. A relação entre as quantidades (C é o dobro de B) e o total de lugares permitem expressar tudo em função de uma única incógnita, transformando o problema em uma equação simples de resolver. Nesta questão, a chave é perceber que a quantidade do setor A não é dada, mas pode ser obtida subtraindo as outras do total de lugares, e então montar a equação da arrecadação.
O que a questão dá
total de lugares = 1500
preço do setor A = R$ 150,00
preço do setor B = R$ 100,00
preço do setor C = R$ 75,00
quantidade de C = dobro da quantidade de B
arrecadação total = R$ 185.000,00
O que queremos: a quantidade de ingressos no setor B
Passo 1 — Definir a incógnita e expressar C
Para resolver o problema, precisamos de uma variável que represente a quantidade que queremos descobrir. Como a questão pede a quantidade do setor B, chamamos de b. A relação 'C é o dobro de B' nos dá uma expressão para C em função de b, reduzindo o número de incógnitas.
Por que esta fórmula: A frase 'a quantidade de ingressos para o setor C é o dobro da quantidade de ingressos para o setor B' traduz-se diretamente em c = 2b, pois 'dobro' significa multiplicar por 2.
De onde vem cada valor: = quantidade de ingressos do setor C (incógnita) · = quantidade de ingressos do setor B (incógnita principal)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de usar essa relação e tentar resolver com duas incógnitas sem conexão.
Passo 2 — Expressar a quantidade de A
Precisamos de uma expressão para a quantidade do setor A, pois ela não é dada diretamente. Como o total de lugares é 1500, a soma das quantidades dos três setores deve ser 1500. Isso nos permite isolar a quantidade de A em função de b.
Por que esta fórmula: A soma das quantidades é igual ao total de lugares: a + b + c = 1500. Substituindo c por 2b, temos a + b + 2b = 1500, então a = 1500 - 3b.
De onde vem cada valor: = quantidade de ingressos do setor A (incógnita) · = enunciado: total de lugares · = soma de b e 2b (passo 1)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de incluir o setor A na soma total, ou errar a subtração.
Passo 3 — Montar a equação da arrecadação
Agora que temos todas as quantidades em função de b, podemos usar a informação da arrecadação total. A arrecadação é a soma do que cada setor rendeu, que é o preço vezes a quantidade. Isso nos dá uma equação com uma única incógnita.
Por que esta fórmula: A arrecadação total é a soma das arrecadações de cada setor: preço_A * quantidade_A + preço_B * quantidade_B + preço_C * quantidade_C. Substituímos os preços e as expressões das quantidades.
De onde vem cada valor: = enunciado: preço do setor A · = passo 2 · = enunciado: preço do setor B · = incógnita principal · = enunciado: preço do setor C · = passo 1 · = enunciado: arrecadação total
NÃO CAIA NESSA!
Usar os preços como quantidades ou esquecer de multiplicar preço por quantidade.
Passo 4 — Simplificar a equação
Para resolver a equação, precisamos simplificá-la, distribuindo a multiplicação e combinando os termos semelhantes. Isso transforma a equação em uma forma mais simples, onde podemos isolar b.
Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva: 150*(1500 - 3b) = 225000 - 450b. Depois somamos os termos com b: -450b + 100b + 150b = -200b. A equação fica 225000 - 200b = 185000.
De onde vem cada valor: = 150 * 1500 (passo 3) · = soma de -450b, 100b e 150b (passo 3) · = enunciado: arrecadação total
NÃO CAIA NESSA!
Errar a soma dos coeficientes de b, por exemplo, somar -450 + 100 + 150 como -200, mas esquecer o sinal.
Passo 5 — Isolar b e calcular
Com a equação simplificada, podemos isolar a incógnita b para encontrar seu valor. Isso envolve mover os termos constantes para o outro lado e dividir pelo coeficiente de b.
Por que esta fórmula: Subtraímos 225000 de ambos os lados para obter -200b = -40000. Depois dividimos ambos os lados por -200, resultando em b = 200.
De onde vem cada valor: = diferença entre 185000 e 225000 (passo 4) · = coeficiente de b (passo 4)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o sinal negativo ao dividir, ou errar a divisão.