Em um salão de festas havia dois grupos de convidados: o primeiro grupo era formado por convidados acompanhados de uma única pessoa, enquanto que o segundo grupo era formado por convidados desacompanhados, sendo que a razão entre os números de pessoas do primeiro e do segundo grupos era 12/5.Sabendo-se que cada convidado poderia levar apenas um acompanhante, e que o número de convidados do primeiro grupo excedia em 8 o número de convidados do segundo grupo, o número total de pessoas, convidadas e acompanhantes, era igual a
A88.
B92.
C106.
D128.
E136.
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GabaritoE — 136.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 136 pessoas (alternativa E).
A ideia por trás
Razão e proporção comparam duas quantidades por uma fração. Aqui, a razão 12/5 compara o total de pessoas de cada grupo, mas o primeiro grupo tem o dobro de pessoas porque cada convidado leva um acompanhante. A diferença de 8 é entre os convidados, não entre as pessoas. Para resolver, montamos um sistema com duas equações: uma para a razão e outra para a diferença, e depois somamos os acompanhantes.
O que a questão dá
razão entre pessoas do 1º e 2º grupos = 12/5
convidados do 1º grupo excedem em 8 os do 2º
cada convidado do 1º grupo leva 1 acompanhante
O que queremos: o número total de pessoas no salão (convidados + acompanhantes)
Passo 1 — Definir as incógnitas
Precisamos nomear as quantidades desconhecidas para transformar o problema em equações. Vamos chamar de x o número de convidados do primeiro grupo e de y o número de convidados do segundo grupo.
NÃO CAIA NESSA!
Confundir x com o total de pessoas do primeiro grupo, mas x é só o número de convidados.
Passo 2 — Montar a equação da diferença
O enunciado diz que o número de convidados do primeiro grupo excede em 8 o do segundo. Isso significa que x é 8 a mais que y, então escrevemos x = y + 8.
Por que esta fórmula: A diferença é uma subtração: se x excede y em 8, então x - y = 8, o que equivale a x = y + 8.
De onde vem cada valor: = enunciado: convidados do 1º grupo · = enunciado: convidados do 2º grupo
NÃO CAIA NESSA!
Escrever y = x + 8, invertendo a relação.
Passo 3 — Montar a equação da razão
A razão 12/5 compara o número de pessoas de cada grupo. O primeiro grupo tem x convidados e cada um leva um acompanhante, então tem 2x pessoas. O segundo grupo tem y pessoas (só convidados). Por isso a razão é 2x/y = 12/5.
Por que esta fórmula: A razão é uma fração entre duas quantidades. Como o primeiro grupo tem o dobro de pessoas por causa dos acompanhantes, usamos 2x no numerador.
De onde vem cada valor: = passo 1: x convidados + x acompanhantes · = passo 1: convidados do 2º grupo · = enunciado: razão entre pessoas
NÃO CAIA NESSA!
Usar x/y = 12/5, esquecendo de contar os acompanhantes.
Passo 4 — Substituir x na razão
Temos duas equações com duas incógnitas. Para resolver, substituímos x por y + 8 na equação da razão, ficando com uma só incógnita.
Por que esta fórmula: Substituição é um método de resolver sistemas: trocamos a expressão de uma variável na outra equação.
De onde vem cada valor: = passo 2: x = y + 8, e passo 3: 2x · = passo 1 · = enunciado
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar o 2 pelo parêntese.
Passo 5 — Multiplicar cruzado
Para eliminar as frações, multiplicamos em cruz: o numerador de um lado vezes o denominador do outro. Isso transforma a equação em uma igualdade sem frações.
Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada é válida quando temos uma igualdade de frações: a/b = c/d implica a·d = b·c.
De onde vem cada valor: = denominador do lado direito · = numerador do lado esquerdo · = numerador do lado direito vezes denominador do esquerdo
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar apenas 5 por 2, esquecendo o (y+8).
Passo 6 — Resolver a equação para y
Agora temos uma equação linear simples. Vamos distribuir o 10, isolar y e encontrar seu valor.
Por que esta fórmula: Equação linear: ax + b = cx + d. Isolamos a incógnita em um lado.
De onde vem cada valor: = 5·2·y · = 5·2·8 · = do passo anterior
NÃO CAIA NESSA!
Errar a distributiva: 5·2(y+8) = 10y+40, não 10y+80.
Passo 7 — Isolar y
Para achar y, passamos os termos com y para um lado e os números para o outro.
Por que esta fórmula: Subtraímos 10y dos dois lados para manter a igualdade.
De onde vem cada valor: = passo 6 · = 12y - 10y
NÃO CAIA NESSA!
Subtrair 12y de 10y, resultando em -2y.
Passo 8 — Calcular y e x
Dividimos por 2 para achar y, e depois usamos x = y + 8 para achar x.
Por que esta fórmula: Divisão: y = 80/2 = 40. Depois substituímos.
De onde vem cada valor: = passo 7 · = coeficiente de y · = resultado da divisão · = enunciado: diferença
y = 40 convidados, x = 48 convidados
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar 8 para achar x.
Passo 9 — Calcular o total de pessoas
O total de pessoas é a soma dos convidados do segundo grupo (40) com as pessoas do primeiro grupo (48 convidados + 48 acompanhantes = 96).
Por que esta fórmula: Cada convidado do primeiro grupo leva um acompanhante, então o número de pessoas é o dobro do número de convidados.
De onde vem cada valor: = passo 8: 2·48 · = passo 8: 40
NÃO CAIA NESSA!
Somar apenas os convidados: 48 + 40 = 88, esquecendo os acompanhantes.