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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2026

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu120446
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFESP
Ano
2026
Nível
Superior
Um total de 108 calouros e 180 veteranos de determinado curso de uma universidade participa de uma atividade acadêmica na qual esses calouros e veteranos serão divididos em grupos, cada grupo contendo um número x de calouros e um número y de veteranos, de modo que cada um desses universitários participe de apenas um grupo.Se o número de universitários em cada grupo tem que ser o menor possível, satisfazendo as condições já apresentadas, a diferença y – x deve ser igual a
  1. A1.
  2. B2.
  3. C3.
  4. D4.
  5. E5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 2 (alternativa B).

A ideia por trás

Quando precisamos dividir duas quantidades em grupos iguais, o número de grupos deve ser um divisor comum das duas quantidades. O máximo divisor comum (MDC) é o maior número de grupos possível, o que faz com que cada grupo tenha o menor número de pessoas. O MDC é encontrado fatorando os números e multiplicando os fatores comuns com os menores expoentes. Nesta questão, precisamos calcular o MDC de 108 e 180 para achar o número de grupos, depois dividir cada total por esse número para obter x e y, e finalmente subtrair.

O que a questão dá

  • calouros = 108

  • veteranos = 180

O que queremos: a diferença y – x entre veteranos e calouros em cada grupo, com o menor número de universitários por grupo

Passo 1 — Fatorar 108 em primos

Para calcular o MDC, precisamos da fatoração em primos de cada número. Fatorar significa escrever o número como produto de números primos; isso revela os fatores comuns.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o primeiro passo para achar o MDC, pois o MDC é formado pelos fatores primos comuns com os menores expoentes.

108=22×33108 = 2^{2} \times 3^{3}

De onde vem cada valor: 108108 = enunciado: total de calouros

108=2×2×3×3×3=22×33108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = \boxed{2^{2} \times 3^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, por exemplo, parar em 108 = 2 × 54.

Passo 2 — Fatorar 180 em primos

Precisamos da fatoração de 180 para comparar com a de 108 e extrair os fatores comuns.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos de 180 é necessária para identificar os fatores comuns com 108.

180=22×32×5180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 180180 = enunciado: total de veteranos

180=2×2×3×3×5=22×32×5180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = \boxed{2^{2} \times 3^{2} \times 5}
NÃO CAIA NESSA!

Fatorar incorretamente, por exemplo, 180 = 2 × 90 e não continuar.

Passo 3 — Calcular o MDC de 108 e 180

O MDC é o maior número de grupos possível, o que garante o menor número de pessoas por grupo. Para isso, pegamos os fatores primos comuns com os menores expoentes.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns, cada um elevado ao menor expoente entre as duas fatorações.

MDC=22×32MDC = 2^{2} \times 3^{2}

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1 e passo 2: fator comum com menor expoente 2 · 323^{2} = passo 1 e passo 2: fator comum com menor expoente 2

MDC=4×9=36MDC = 4 \times 9 = \boxed{36}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente em vez do menor, o que daria 2^2 × 3^3 = 108, que não divide 180.

Passo 4 — Calcular calouros por grupo (x)

Com 36 grupos, dividimos o total de calouros pelo número de grupos para saber quantos calouros vão em cada grupo.

Por que esta fórmula: Se 108 calouros são distribuídos igualmente em 36 grupos, cada grupo recebe 108 ÷ 36.

x=10836x = \frac{108}{36}

De onde vem cada valor: 108108 = enunciado: total de calouros · 3636 = passo 3: MDC

x=10836=3 calourosx = \frac{108}{36} = \boxed{3\ \text{calouros}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 36 por 108, obtendo 0,33, em vez de 108 por 36.

Passo 5 — Calcular veteranos por grupo (y)

Analogamente, dividimos o total de veteranos pelo número de grupos para obter y.

Por que esta fórmula: Se 180 veteranos são distribuídos igualmente em 36 grupos, cada grupo recebe 180 ÷ 36.

y=18036y = \frac{180}{36}

De onde vem cada valor: 180180 = enunciado: total de veteranos · 3636 = passo 3: MDC

y=18036=5 veteranosy = \frac{180}{36} = \boxed{5\ \text{veteranos}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: usar 108 para veteranos e 180 para calouros.

Passo 6 — Calcular a diferença y – x

O problema pede a diferença entre o número de veteranos e calouros em cada grupo. Com x e y conhecidos, basta subtrair.

Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente y menos x.

y−x=5−3y - x = 5 - 3

De onde vem cada valor: 55 = passo 5: y · 33 = passo 4: x

y−x=5−3=2y - x = 5 - 3 = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada (x – y), o que daria -2, mas a questão pede y – x.

Resposta: 2 (alternativa B)

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