Dado um número real x, o símbolo \left \lfloor {x} \right \rfloor indica o maior número inteiro que é menor ou igual a x. Por exemplo,\left \lfloor 411 \right \rfloor = 2, \left \lfloor {π} \right \rfloor = 3 e \left \lfloor {5} \right \rfloor = 5. Utilizando-se essa definição, a soma dos termos da sequência \left \lfloor {-4} \right \rfloor + \left \lfloor {-3,9} \right \rfloor + \left \lfloor {-3,8} \right \rfloor + \left \lfloor {-3,7} \right \rfloor + \left \lfloor {-3,6} \right \rfloor + ... + \left \lfloor {2} \right \rfloor é igual a
A–92.
B–34.
C–88.
D–52.
E–90.
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GabaritoC — –88.
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Função piso (maior inteiro menor ou igual a x)
Gabarito: letra C — a soma é –88. A questão cobra a função piso (também chamada de função maior inteiro ou floor), que associa a cada número real o maior inteiro que não o supera. Para números negativos não inteiros, o piso é o inteiro imediatamente à esquerda na reta numérica (ex.: ⌊–3,9⌋ = –4), e é exatamente esse detalhe que decide a questão.
A função piso, denotada por ⌊x⌋, é definida como o maior número inteiro menor ou igual a x. Para números positivos, ela simplesmente "corta" a parte decimal (⌊3,7⌋ = 3). Para números negativos, porém, ela "anda para a esquerda" na reta numérica: como –4 é menor que –3,9, temos ⌊–3,9⌋ = –4. Essa é a pegadinha clássica: muitos alunos, acostumados com o truncamento (que simplesmente remove a parte decimal), aplicam a mesma regra para negativos e erram.
Vamos calcular cada termo da sequência. Os termos vão de ⌊–4⌋ até ⌊2⌋, com os números decimais variando de –3,9 até 1,9 (pois o último termo antes de ⌊2⌋ é ⌊1,9⌋). Para cada intervalo entre dois inteiros consecutivos, o piso é constante:
Para x em [–4, –3): ⌊x⌋ = –4. Isso inclui –4, –3,9, –3,8, ..., –3,1. São 10 termos (de –4,0 a –3,1, inclusive).
Para x em [–3, –2): ⌊x⌋ = –3. Inclui –3,0 até –2,1. São 10 termos.
Para x em [–2, –1): ⌊x⌋ = –2. Inclui –2,0 até –1,1. São 10 termos.
Para x em [–1, 0): ⌊x⌋ = –1. Inclui –1,0 até –0,1. São 10 termos.
Para x em [0, 1): ⌊x⌋ = 0. Inclui 0,0 até 0,9. São 10 termos.
Para x em [1, 2): ⌊x⌋ = 1. Inclui 1,0 até 1,9. São 10 termos.
A sequência tem 61 termos no total (de –4 a 2, inclusive). A soma é –88, que corresponde à alternativa C.
Distribuição dos termos da sequência — só Termos negativos: 50; só Termos não negativos: 11; Termos negativos∩Termos não negativos: 0
Alternativa A — ❌ Incorreta
O valor –92 não corresponde a nenhum erro de cálculo comum. Se o aluno contasse apenas 9 termos em cada intervalo (excluindo o primeiro de cada um), obteria um valor diferente, mas –92 não é um resultado que surja naturalmente de um erro típico. Provavelmente é um distrator aleatório.
Alternativa B — ❌ Incorreta
O valor –34 é muito menor em magnitude do que o correto. Esse número poderia surgir se o aluno aplicasse a função piso apenas aos números inteiros da sequência (ignorando os decimais), mas mesmo assim a soma seria diferente. É um distrator que subestima a contribuição dos termos negativos.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A soma correta é –88. O cálculo detalhado está no desenvolvimento: cada intervalo de comprimento 1 (de –4 a –3, de –3 a –2, etc.) contribui com 10 termos de valor constante, e o último termo ⌊2⌋ = 2. A soma é 10 × (–4 – 3 – 2 – 1 + 0 + 1) + 2 = 10 × (–9) + 2 = –90 + 2 = –88.
Alternativa D — ❌ Incorreta
O valor –52 é outro distrator. Ele poderia surgir se o aluno contasse apenas 6 termos em cada intervalo (por exemplo, de –3,9 a –3,4), mas isso não corresponde à sequência dada, que inclui todos os décimos. É um valor que não tem relação direta com um erro conceitual específico.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O valor –90 é o resultado de um erro muito comum: somar 10 × (–4 – 3 – 2 – 1 + 0 + 1) = –90 e esquecer de adicionar o último termo ⌊2⌋ = 2. Quem comete esse erro obtém –90, que é justamente um dos distratores. A pegadinha aqui é lembrar que a sequência termina em ⌊2⌋, e não em ⌊1,9⌋.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre a função piso e o truncamento para números negativos. Muitos alunos, ao calcular ⌊–3,9⌋, pensam em –3 (truncando a parte decimal), mas o correto é –4, pois –4 é o maior inteiro menor ou igual a –3,9. Além disso, o distrator –90 (alternativa E) é uma armadilha para quem esquece de somar o último termo ⌊2⌋ = 2. Fique atento a esses dois detalhes: o comportamento da função piso para negativos e a inclusão de todos os termos da sequência.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões com a função piso, desenhe a reta numérica e localize os intervalos entre inteiros consecutivos. Para cada intervalo [n, n+1), o piso é constante e igual a n. Conte quantos termos caem em cada intervalo e multiplique pelo valor do piso. No final, não se esqueça de incluir os extremos que são inteiros (como ⌊2⌋ = 2). Essa técnica evita erros de contagem e de sinal.