Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2026

Resolução

A ideia por trás

Um triângulo retângulo tem um ângulo de 90°, e seus lados são chamados de catetos (os que formam o ângulo reto) e hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior). A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura; no triângulo retângulo, se tomamos um cateto como base, o outro cateto é a altura, então a área é (cateto × cateto) ÷ 2. Quando um retângulo está inscrito em um triângulo, com um lado sobre a base, ele divide o triângulo em um retângulo e um triângulo menor no topo. Esse triângulo menor é semelhante ao triângulo maior, pois ambos são retângulos e compartilham o ângulo agudo no vértice superior. Em figuras semelhantes, as razões entre lados correspondentes são iguais — essa proporção é a ponte que liga as dimensões do retângulo às do triângulo. A questão fornece o perímetro do retângulo e os lados do triângulo em função de x. A semelhança entre o triângulo menor e o maior permite montar uma equação que relaciona as dimensões do retângulo com x, e o perímetro dá outra equação. Resolvendo o sistema, encontramos x e, com ele, a área do triângulo.

O que a questão dá

• perímetro do retângulo = 18 m

• lado AB do triângulo = (8x + 2) m

• lado AC do triângulo = (x + 7) m

• triângulo ABC é retângulo em C

O que queremos: a área do triângulo ABC, excluindo a área do retângulo

Passo 1 — Definir as dimensões do retângulo

O retângulo tem perímetro 18 m, e perímetro é a soma dos quatro lados. Se chamarmos a base de b e a altura de h, temos 2b + 2h = 18, que simplifica para b + h = 9. Essa é a primeira relação entre as dimensões do retângulo. Por que esta fórmula: Perímetro de um retângulo é a soma dos lados: dois comprimentos e duas larguras. Dividir por 2 dá a soma de um comprimento e uma largura.

De onde vem cada valor: $b$ = definição: base do retângulo · $h$ = definição: altura do retângulo · $9$ = enunciado: perímetro 18 m dividido por 2

Passo 2 — Montar a proporção da semelhança

O triângulo menor, acima do retângulo, tem altura (x + 7 − h) e base b. Ele é semelhante ao triângulo maior, que tem altura (x + 7) e base (8x + 2). Em triângulos semelhantes, a razão entre alturas é igual à razão entre bases, então podemos escrever essa igualdade. Por que esta fórmula: A semelhança garante que lados correspondentes são proporcionais. Aqui, a altura do triângulo menor corresponde à altura do maior, e a base do menor corresponde à base do maior.

De onde vem cada valor: $x + 7 - h$ = definição: altura do triângulo menor, que é a altura total (x+7) menos a altura do retângulo h · $x + 7$ = enunciado: lado AC do triângulo · $b$ = passo 1: base do retângulo · $8x + 2$ = enunciado: lado AB do triângulo

Passo 3 — Substituir b por 9 − h

Temos duas incógnitas, b e h, e duas equações: b + h = 9 e a proporção. Para resolver, substituímos b = 9 − h na proporção, ficando com uma equação só em h e x. Por que esta fórmula: Isolar b na equação do perímetro e substituir na proporção é o método de substituição para sistemas.

De onde vem cada valor: $x + 7 - h$ = passo 2 · $x + 7$ = passo 2 · $9 - h$ = passo 1: b = 9 − h · $8x + 2$ = passo 2

Passo 4 — Usar a semelhança do retângulo

A equação do passo 3 tem duas incógnitas, h e x. Precisamos de outra relação. Observando a figura, o retângulo também é semelhante ao triângulo maior: a altura do retângulo h corresponde à altura total (x+7), e a base do retângulo b corresponde à base total (8x+2). Isso nos dá uma segunda equação. Por que esta fórmula: A semelhança entre o triângulo menor e o maior também vale para o retângulo: a altura do retângulo corresponde à altura total, e a base do retângulo corresponde à base total.

De onde vem cada valor: $h$ = passo 1: altura do retângulo · $x + 7$ = enunciado: lado AC do triângulo · $b$ = passo 1: base do retângulo · $8x + 2$ = enunciado: lado AB do triângulo

Passo 5 — Encontrar h em função de x

Agora temos duas equações: a do passo 3 e a do passo 4. Mas elas são equivalentes? Na verdade, a do passo 4 é mais simples. Vamos resolver a do passo 4: h/(x+7) = (9−h)/(8x+2). Multiplicando cruzado: h(8x+2) = (9−h)(x+7). Expandindo: 8xh + 2h = 9x + 63 − hx − 7h. Juntando termos: 8xh + 2h + hx + 7h = 9x + 63 → 9xh + 9h = 9x + 63 → 9h(x+1) = 9(x+7) → h(x+1) = x+7 → h = (x+7)/(x+1). Por que esta fórmula: Estamos resolvendo o sistema de equações. A equação do passo 4 é mais direta e nos dá h em função de x.

De onde vem cada valor: $x + 7$ = enunciado: lado AC do triângulo · $x + 1$ = definição: resultado da simplificação algébrica

Passo 6 — Substituir h na proporção original

Com h em função de x, substituímos na proporção do passo 2 para obter uma equação só com x. Por que esta fórmula: Substituição direta na equação da semelhança.

De onde vem cada valor: $x + 7 - h$ = passo 5: h = (x+7)/(x+1) · $x + 7$ = enunciado: lado AC do triângulo · $9 - h$ = passo 1: b = 9 − h · $8x + 2$ = enunciado: lado AB do triângulo

Passo 7 — Resolver a equação para x

Simplificando a equação do passo 6, chegamos a uma equação linear em x. Vamos resolver passo a passo. Primeiro, simplificamos o lado esquerdo: (x+7 − (x+7)/(x+1))/(x+7) = ( (x+7)(1 − 1/(x+1)) )/(x+7) = 1 − 1/(x+1) = (x+1−1)/(x+1) = x/(x+1). O lado direito: (9 − (x+7)/(x+1))/(8x+2) = ( (9(x+1) − (x+7))/(x+1) )/(8x+2) = ( (9x+9 − x − 7)/(x+1) )/(8x+2) = ( (8x+2)/(x+1) )/(8x+2) = 1/(x+1). Então a equação fica x/(x+1) = 1/(x+1), logo x = 1. Por que esta fórmula: Simplificação algébrica e resolução de equação racional.

De onde vem cada valor: $x$ = definição: incógnita

Passo 8 — Calcular a área do triângulo

Com x = 1, os lados do triângulo são AB = 8·1 + 2 = 10 m e AC = 1 + 7 = 8 m. Como o triângulo é retângulo em C, esses são os catetos. A área é metade do produto dos catetos. Por que esta fórmula: Área de triângulo retângulo = (cateto × cateto) ÷ 2.

De onde vem cada valor: $AB$ = passo 7: 8·1+2 = 10 m · $AC$ = passo 7: 1+7 = 8 m