Considere a figura retangular ABCD:
Figura fora de escala
Sabendo-se que a região plana escura, também retangular, tem perímetro de 36 cm, a área dessa região é de
GabaritoE — 72 cm2.
Gabarito: letra E — a conta chega a 72 cm² — alternativa E.
Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos; seus lados opostos são iguais. O perímetro é a soma de todos os lados, e a área é a medida da superfície interna, calculada multiplicando o comprimento da base pela altura. A unidade de área é o centímetro quadrado (cm²).
Para um retângulo de base b e altura h, o perímetro é P = 2·(b + h) e a área é A = b·h. Se o perímetro é fixo, a área depende de como a base e a altura se distribuem: quanto mais próximos os lados, maior a área (o quadrado é o caso extremo). Aqui, a figura indica que a base é o dobro da altura, o que determina uma única solução.
Esta questão fornece o perímetro e uma relação visual entre os lados do retângulo escuro. O desafio é usar essa relação para encontrar as dimensões e então calcular a área.
perímetro da região escura = 36 cm
relação visual: base = 2 × altura
O que queremos: a área da região retangular escura
O perímetro é a única medida numérica dada, então é o ponto de partida. Precisamos de uma equação que relacione base e altura.
Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é a soma dos quatro lados: dois comprimentos (base) e duas alturas. Por isso P = 2·(b + h).
De onde vem cada valor: = enunciado: 36 cm · = definição: base do retângulo escuro · = definição: altura do retângulo escuro
Esquecer de dividir por 2 e usar 36 = b + h, o que levaria a dimensões erradas.
Com apenas a soma b + h = 18, há infinitas soluções. A figura fornece a relação visual de que a base é o dobro da altura, o que elimina a indeterminação.
Por que esta fórmula: A figura mostra que a base do retângulo escuro é o dobro da altura, então b = 2h. Essa é uma relação direta entre as duas incógnitas.
De onde vem cada valor: = definição: base do retângulo escuro · = definição: altura do retângulo escuro
Interpretar a relação ao contrário, como h = 2b, o que inverteria as dimensões.
Agora temos duas equações com duas incógnitas. Substituir b por 2h na equação do semiperímetro permite resolver para h.
Por que esta fórmula: Com b = 2h, a equação b + h = 18 vira 2h + h = 18, que é uma equação simples de primeiro grau.
De onde vem cada valor: = passo 2: b = 2h · = definição: altura do retângulo escuro · = passo 1: b + h = 18
Esquecer de somar os termos com h e escrever 2h = 18, achando h = 9.
Com a altura conhecida, a relação b = 2h dá a base, que é necessária para a área.
Por que esta fórmula: A relação visual do passo 2 ainda vale: a base é o dobro da altura.
De onde vem cada valor: = passo 2: relação b = 2h · = passo 3: 6 cm
Usar h = 6 como base e b = 12 como altura, o que não muda a área, mas confunde a notação.
Com base e altura conhecidas, a área é o produto direto, que é o que a questão pede.
Por que esta fórmula: A área de um retângulo é o produto da base pela altura, pois mede quantos quadrados de 1 cm de lado cabem na superfície.
De onde vem cada valor: = passo 4: 12 cm · = passo 3: 6 cm
Somar base e altura em vez de multiplicar, obtendo 18 cm².
Resposta: 72 cm² — alternativa E
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