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Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2026

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
vu166972
Banca
VUNESP
Órgão
SAAEB Ambiental
Ano
2026
Cargo
CInt ( )
Em um salão de festas havia dois grupos de convidados: o primeiro grupo era formado por convidados acompanhados de uma única pessoa, enquanto que o segundo grupo era formado por convidados desacompanhados, sendo que a razão entre os números de pessoas do primeiro e do segundo grupos era 125\frac{12}{5}. Sabendo-se que cada convidado poderia levar apenas um acompanhante, e que o número de convidados do primeiro grupo excedia em 8 o número de convidados do segundo grupo, o número total de pessoas, convidadas e acompanhantes, era igual a
  1. A88.
  2. B92.
  3. C106.
  4. D128.
  5. E136.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 136.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 136 pessoas — alternativa E.

A ideia por trás

Razão é uma comparação entre duas quantidades por meio de uma divisão. Quando dizemos que a razão entre A e B é 12/5, significa que, para cada 12 partes de A, existem 5 partes de B. Proporção é a igualdade entre duas razões, e problemas de divisão proporcional usam essa ideia para repartir um total em partes que mantêm uma relação fixa.

Aqui a razão dada é entre o número de PESSOAS do primeiro grupo e o número de PESSOAS do segundo grupo. O primeiro grupo é formado por convidados acompanhados, ou seja, cada convidado leva um acompanhante, então o total de pessoas nesse grupo é o dobro do número de convidados. O segundo grupo é formado por desacompanhados, então o número de pessoas é igual ao número de convidados. Essa distinção é crucial: se você usar a razão diretamente sobre os convidados, o resultado sai errado.

Esta questão cobra a interpretação correta da razão: ela se refere aos totais de pessoas, não aos números de convidados. Além disso, usa a diferença entre os convidados para montar um sistema de equações.

O que a questão dá

  • razão entre o número de pessoas do primeiro e do segundo grupo = 12/5

  • número de convidados do primeiro grupo excede em 8 o número de convidados do segundo grupo

  • cada convidado do primeiro grupo leva um acompanhante

O que queremos: o número total de pessoas no salão, incluindo convidados e acompanhantes

Passo 1 — Definir as variáveis dos grupos

Para transformar o texto em equações, precisamos nomear as quantidades desconhecidas. Vamos chamar de C o número de convidados do primeiro grupo e de D o número de convidados do segundo grupo. Assim podemos escrever as relações do enunciado.

NÃO CAIA NESSA!

Confundir C com o total de pessoas do primeiro grupo. Lembre-se: C é apenas o número de convidados, e o total de pessoas é 2C.

Passo 2 — Expressar o total de pessoas de cada grupo

A razão dada é entre os totais de pessoas, então precisamos calcular esses totais. O primeiro grupo tem C convidados e cada um leva um acompanhante, então o total é C + C = 2C. O segundo grupo tem D desacompanhados, então o total é D.

Por que esta fórmula: A razão entre os totais é 2C/D, e o enunciado diz que essa razão é 12/5. Essa é a equação que relaciona C e D.

2CD=125\frac{2C}{D} = \frac{12}{5}

De onde vem cada valor: 2C2C = definição: total de pessoas do primeiro grupo = C convidados + C acompanhantes · DD = definição: total de pessoas do segundo grupo = D convidados desacompanhados · 12/512/5 = enunciado: razão entre os números de pessoas

NÃO CAIA NESSA!

Usar C/D = 12/5, esquecendo de dobrar o primeiro grupo. Isso leva a um total errado.

Passo 3 — Montar a equação da diferença

O enunciado também diz que o número de convidados do primeiro grupo excede em 8 o número de convidados do segundo. Isso dá uma segunda equação: C = D + 8. Com duas equações, podemos resolver o sistema.

Por que esta fórmula: A frase 'excede em 8' significa que C é 8 unidades maior que D, então C = D + 8.

C=D+8C = D + 8

De onde vem cada valor: CC = definição: convidados do primeiro grupo · DD = definição: convidados do segundo grupo · 88 = enunciado: excede em 8

NÃO CAIA NESSA!

Escrever D = C + 8, invertendo a relação. Leia com atenção: o primeiro excede o segundo, então o primeiro é maior.

Passo 4 — Substituir C na equação da razão

Agora temos duas equações com duas incógnitas. Para resolver, substituímos C = D + 8 na equação da razão, ficando com uma equação só em D.

Por que esta fórmula: Substituição é o método mais direto: trocamos C por D + 8 na equação 2C/D = 12/5.

2(D+8)D=125\frac{2(D + 8)}{D} = \frac{12}{5}

De onde vem cada valor: D+8D + 8 = passo 3: C = D + 8 · 22 = passo 2: total de pessoas do primeiro grupo = 2C · 12/512/5 = passo 2: razão entre os totais

2(D+8)D=125\frac{2(D + 8)}{D} = \frac{12}{5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o 2 pelo parêntese ao simplificar. Faça passo a passo: 2(D+8) = 2D + 16.

Passo 5 — Resolver a equação para D

Com a equação em uma variável, isolamos D para descobrir quantos convidados há no segundo grupo. Isso é necessário para depois achar C e o total.

Por que esta fórmula: Multiplicamos cruzado para eliminar as frações: 5 * 2(D+8) = 12D. Depois resolvemos a equação linear.

5⋅2(D+8)=12D5 \cdot 2(D + 8) = 12D

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: denominador da razão 12/5 · 2(D+8)2(D + 8) = passo 4: numerador da fração · 12D12D = passo 4: produto cruzado 12 * D

5⋅2(D+8)=12D5 \cdot 2(D + 8) = 12D
D=40D = \boxed{40}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 2(D+8) = 2D + 16, não 2D + 8. Isso muda o resultado.

Passo 6 — Calcular o número de convidados do primeiro grupo

Já sabemos D = 40. Usamos a relação C = D + 8 para achar C, que é o número de convidados do primeiro grupo.

Por que esta fórmula: A equação C = D + 8 vem do enunciado e já está pronta para substituir.

C=D+8C = D + 8

De onde vem cada valor: DD = passo 5: 40 · 88 = enunciado: excede em 8

C=40+8C = 40 + 8
C=48C = \boxed{48}
NÃO CAIA NESSA!

Usar C = D - 8, invertendo a relação. O primeiro grupo é maior, então C é maior que D.

Passo 7 — Calcular o total de pessoas no salão

A pergunta é o total de pessoas, incluindo acompanhantes. O primeiro grupo tem 2C pessoas (convidados + acompanhantes) e o segundo tem D pessoas. Somamos tudo.

Por que esta fórmula: Total = 2C + D, pois o primeiro grupo tem o dobro de pessoas do número de convidados.

Total=2C+DTotal = 2C + D

De onde vem cada valor: 2C2C = passo 6: C = 48, então 2C = 96 · DD = passo 5: 40

Total=2×48+40=136 pessoasTotal = 2 \times 48 + 40 = \boxed{136\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os acompanhantes e calcular apenas C + D = 88. O enunciado pede o total de pessoas, não só convidados.

Resposta: 136 pessoas — alternativa E

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