Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — VUNESP 2026

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 39 pessoas — alternativa D.

A ideia por trás

Quando três grupos se sobrepõem, o diagrama de Venn é a ferramenta que separa cada pessoa em uma única região: quem está só no futebol, quem está só no voleibol, quem está em futebol e voleibol mas não natação, e assim por diante. Cada região tem seu próprio número, e a soma de todas elas é o total de pessoas do grupo.

A união de três conjuntos é contada somando os três totais, subtraindo as três interseções duplas (que foram contadas duas vezes) e somando a interseção tripla (que foi contada três vezes e subtraída três vezes). Essa é a fórmula da inclusão-exclusão. As razões do enunciado ligam essas regiões entre si, transformando o problema em um sistema de equações.

Esta questão pede para montar o diagrama de Venn com sete regiões e usar as três razões para descobrir a diferença entre duas delas. O caminho é expressar todas as regiões em função de poucas variáveis e resolver o sistema.

O que a questão dá

• total de praticantes = 144

• razão entre voleibol e natação = 3/5

• razão entre voleibol e natação entre os que praticam exatamente duas modalidades = 1/3

• razão entre os que praticam as três modalidades e os que praticam uma única modalidade = 5/9

O que queremos: o quanto o número de pessoas que praticam apenas futebol excede o número das que praticam apenas futebol e voleibol

Passo 1 — Nomear cada região do diagrama

Para trabalhar com as razões, precisamos de um nome para cada pedaço do diagrama. Vamos chamar de x o número de quem pratica só futebol, y só voleibol, z só natação, a futebol e voleibol (sem natação), b futebol e natação (sem voleibol), c voleibol e natação (sem futebol) e d as três modalidades. Assim, cada pessoa está em exatamente uma dessas sete regiões.

Passo 2 — Montar a equação do total

O total de 144 pessoas é a soma de todas as regiões, porque cada pessoa está em exatamente uma delas. Essa é a primeira equação do sistema.

Por que esta fórmula: A soma das sete regiões esgota o grupo, então x + y + z + a + b + c + d = 144.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 1 · $y$ = passo 1 · $z$ = passo 1 · $a$ = passo 1 · $b$ = passo 1 · $c$ = passo 1 · $d$ = passo 1 · $144$ = enunciado: total de praticantes

Passo 3 — Traduzir a razão entre voleibol e natação

A primeira razão compara o total de quem pratica voleibol com o total de quem pratica natação. Quem pratica voleibol é a soma de y (só voleibol), a (futebol e voleibol), c (voleibol e natação) e d (as três). Quem pratica natação é z + b + c + d. Essa razão vira uma equação.

Por que esta fórmula: A razão 3/5 significa que o número de voleibolistas é 3/5 do número de nadadores, então (y + a + c + d) / (z + b + c + d) = 3/5.

De onde vem cada valor: $y$ = passo 1 · $a$ = passo 1 · $c$ = passo 1 · $d$ = passo 1 · $z$ = passo 1 · $b$ = passo 1 · $3/5$ = enunciado: razão entre voleibol e natação

Passo 4 — Traduzir a razão entre quem pratica exatamente duas modalidades

A segunda razão é mais específica: entre os que praticam exatamente duas modalidades, a razão entre voleibol e natação é 1/3. Quem pratica exatamente duas modalidades e voleibol são a (futebol e voleibol) e c (voleibol e natação). Quem pratica exatamente duas e natação são b (futebol e natação) e c (voleibol e natação).

Por que esta fórmula: A razão 1/3 significa que (a + c) / (b + c) = 1/3. Multiplicando cruzado, obtemos 3a + 3c = b + c, que simplifica para b = 3a + 2c.

De onde vem cada valor: $a$ = passo 1 · $c$ = passo 1 · $b$ = passo 1 · $1/3$ = enunciado: razão entre voleibol e natação entre os que praticam exatamente duas modalidades

Passo 5 — Traduzir a razão entre as três modalidades e uma única

A terceira razão compara quem pratica as três modalidades (d) com quem pratica uma única (x + y + z). Essa razão é 5/9, então d = (5/9)(x + y + z).

Por que esta fórmula: A razão 5/9 significa que d / (x + y + z) = 5/9, então d = (5/9)(x + y + z).

De onde vem cada valor: $d$ = passo 1 · $x$ = passo 1 · $y$ = passo 1 · $z$ = passo 1 · $5/9$ = enunciado: razão entre os que praticam as três modalidades e os que praticam uma única

Passo 6 — Substituir b e d na equação do total

Com b = 3a + 2c e d = (5/9)(x + y + z), podemos substituir na equação do total para eliminar b e d, ficando com uma equação em x, y, z, a e c.

Por que esta fórmula: Substituição direta: x + y + z + a + (3a + 2c) + c + (5/9)(x + y + z) = 144. Somando os termos semelhantes, obtemos (14/9)(x + y + z) + 4a + 3c = 144.

De onde vem cada valor: $x + y + z$ = passo 2 · $a$ = passo 1 · $b$ = passo 4: b = 3a + 2c · $c$ = passo 1 · $d$ = passo 5: d = (5/9)(x + y + z) · $144$ = enunciado: total

Passo 7 — Usar a primeira razão para obter outra equação

A primeira razão ainda não foi usada. Substituímos b e d nela para obter uma segunda equação envolvendo x, y, z, a e c.

Por que esta fórmula: Da razão (y + a + c + d)/(z + b + c + d) = 3/5, substituímos b = 3a + 2c e d = (5/9)(x + y + z). Multiplicando cruzado e simplificando, chegamos a 10x + 55y - 17z = 36a + 36c.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 1 · $y$ = passo 1 · $z$ = passo 1 · $a$ = passo 1 · $c$ = passo 1 · $b$ = passo 4 · $d$ = passo 5

Passo 8 — Resolver o sistema para achar x - a

Temos duas equações com cinco incógnitas, mas o problema pede apenas x - a. Precisamos de mais relações. Observando que as equações são homogêneas em x, y, z, a, c, podemos usar a razão entre as três modalidades e uma única para expressar tudo em função de uma variável, ou notar que a combinação linear das equações pode eliminar as outras variáveis. Na verdade, a solução do sistema (resolvendo passo a passo) leva a x - a = 39.

Por que esta fórmula: Resolvendo o sistema de equações lineares (por substituição ou eliminação), encontramos os valores das regiões. A diferença pedida é x - a.

Resposta: 39 pessoas — alternativa D