Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2026
Matemática›Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu166981
Banca
VUNESP
Órgão
Pref SJRP
Ano
2026
Cargo
Ag FiscP ( )
No plano, o octógono não convexo ABCDEFGH tem perímetro igual a 80 cm. No interior desse octógono, estão os pontos P e Q, tais que AQGH e BQFP são quadrados e CDEP é um retângulo, conforme mostra a figura. (Arquivo pessoal; imagem usada com autorização) Sabendo que os perímetros do quadrado AQGH e do retângulo CDEP são iguais, a área do quadrado BQFP é
A256 cm2.
B289 cm2.
C196 cm2.
D144 cm2.
E225 cm2.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoC — 196 cm2.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 64 cm² (nenhuma das alternativas; o gabarito indicado parece inconsistente com a figura descrita).
A ideia por trás
Perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura; área é a medida da superfície que ela ocupa. Em figuras compostas, como este octógono formado por quadrados e um retângulo, o truque é nomear os lados das partes e somar apenas os lados que ficam no contorno externo.
Um quadrado de lado L tem perímetro 4L e área L². Um retângulo de base b e altura h tem perímetro 2(b+h) e área b·h. Quando duas figuras se encostam, o lado comum não conta no perímetro da figura maior — ele fica escondido no interior.
Esta questão pede para relacionar os lados dos quadrados e do retângulo com o perímetro do octógono e com a igualdade de perímetros, montando um sistema que revela o lado do quadrado BQFP.
O que a questão dá
perímetro do octógono = 80 cm
AQGH e BQFP são quadrados
CDEP é um retângulo
perímetros de AQGH e CDEP são iguais
O que queremos: a área do quadrado BQFP
Passo 1 — Nomear os lados das figuras
Para trabalhar com perímetros e áreas, precisamos de nomes para as medidas desconhecidas. Vamos chamar de a o lado do quadrado AQGH, de b o lado do quadrado BQFP, e de c e d a base e a altura do retângulo CDEP.
NÃO CAIA NESSA!
Confundir os lados dos quadrados: cada quadrado tem todos os lados iguais, mas quadrados diferentes podem ter lados diferentes.
Passo 2 — Relacionar os lados do retângulo com os quadrados
Na figura, o retângulo CDEP está encostado nos dois quadrados: um lado do quadrado AQGH coincide com a altura do retângulo, e um lado do quadrado BQFP coincide com a base. Isso liga as medidas e reduz o número de incógnitas.
Por que esta fórmula: Observando a figura, a altura d do retângulo é igual ao lado a do quadrado AQGH, e a base c é igual ao lado b do quadrado BQFP. Então d = a e c = b.
De onde vem cada valor: = lado do quadrado AQGH (passo 1) · = lado do quadrado BQFP (passo 1) · = base do retângulo CDEP (passo 1) · = altura do retângulo CDEP (passo 1)
NÃO CAIA NESSA!
Inverter: achar que a base do retângulo é igual ao lado do quadrado AQGH.
Passo 3 — Montar a equação do perímetro do octógono
O perímetro do octógono é a soma dos lados que formam o contorno externo. Precisamos contar quantos lados de cada figura aparecem no contorno, lembrando que os lados internos não contam.
Por que esta fórmula: O octógono é formado por três figuras: o quadrado AQGH contribui com 3 lados (um lado está colado no retângulo), o quadrado BQFP contribui com 3 lados (um lado colado no retângulo), e o retângulo CDEP contribui com 2 lados (a base e o topo, pois os outros dois estão colados nos quadrados). Somando: 3a + 3b + 2c + 2d, mas como c = b e d = a, fica 3a + 3b + 2b + 2a = 5a + 5b. O enunciado diz que esse perímetro é 80 cm.
De onde vem cada valor: = lado do quadrado AQGH (passo 1) · = lado do quadrado BQFP (passo 1) · = enunciado: perímetro do octógono · = constante: soma dos coeficientes após simplificação (3+2 para a, 3+2 para b)
NÃO CAIA NESSA!
Contar os lados internos como parte do perímetro, ou esquecer que o retângulo tem dois lados iguais a b e dois iguais a a.
Passo 4 — Montar a equação da igualdade de perímetros
O enunciado diz que o perímetro do quadrado AQGH é igual ao do retângulo CDEP. Isso fornece uma segunda relação entre a e b.
Por que esta fórmula: O perímetro do quadrado AQGH é 4a. O perímetro do retângulo CDEP é 2(c + d) = 2(b + a). Igualando: 4a = 2(a + b).
De onde vem cada valor: = lado do quadrado AQGH (passo 1) · = lado do quadrado BQFP (passo 1)
NÃO CAIA NESSA!
Usar o perímetro do quadrado BQFP em vez do AQGH.
Passo 5 — Resolver o sistema para achar b
Temos duas equações com duas incógnitas. Vamos simplificar a segunda e substituir na primeira para encontrar o valor de b.
Por que esta fórmula: Da segunda equação: 4a = 2a + 2b → 2a = 2b → a = b. Substituindo na primeira: 5b + 5b = 80 → 10b = 80 → b = 8.
De onde vem cada valor: = passo 4 · = passo 4 · = passo 3 · = constante: 5+5 após substituir a por b
NÃO CAIA NESSA!
Errar a simplificação da segunda equação, por exemplo, subtrair 2a de 4a e obter 2a = 2b, mas depois esquecer de dividir por 2.
Passo 6 — Calcular a área do quadrado BQFP
Agora que sabemos o lado do quadrado BQFP, a área é direta: lado ao quadrado.
Por que esta fórmula: A área de um quadrado é o quadrado do seu lado: A = b².
De onde vem cada valor: = passo 5: 8 cm
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de elevar ao quadrado e responder 8 cm².
Resposta: 64 cm² (nenhuma das alternativas; o gabarito indicado parece inconsistente com a figura descrita)
