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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2026

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu166987
Banca
VUNESP
Órgão
CM Mogi Cruzes
Ano
2026
Cargo
Ana RH ( )

A figura a seguir (fora de escala), na qual o quadrilátero ABCD é um retângulo e o quadrilátero BFDE é um paralelogramo, representa o projeto inicial do logotipo de uma empresa:

 

Imagem associada para resolução da questão

 

Qual é a razão entre a área do paralelogramo BFDE e a soma das áreas dos dois triângulos AED e BCF?

 

Dados: AE = 15 cm; DF = 12 cm; perímetro do paralelogramo BFDE = 58 cm.

  1. A1/3
  2. B3/5
  3. C2/3
  4. D4/5
  5. E5/6
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GabaritoD — 4/5

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 4/5 — alternativa D.

A ideia por trás

Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos; um paralelogramo tem lados opostos paralelos e iguais, mas não necessariamente ângulos retos. A área de qualquer paralelogramo é base × altura, onde a altura é a distância perpendicular entre as bases. A área de um triângulo é (base × altura)/2.

Quando um paralelogramo está inscrito em um retângulo, as regiões fora do paralelogramo são dois triângulos. A soma das áreas desses triângulos é exatamente a área do retângulo menos a área do paralelogramo. Além disso, o perímetro de um paralelogramo é 2 × (lado1 + lado2), pois os lados opostos são iguais.

Esta questão pede a razão entre a área do paralelogramo e a soma das áreas dos triângulos. Para isso, precisamos descobrir as dimensões do retângulo e do paralelogramo usando o perímetro e o Teorema de Pitágoras.

O que a questão dá

  • AE = 15 cm

  • DF = 12 cm

  • perímetro do paralelogramo BFDE = 58 cm

O que queremos: a razão entre a área do paralelogramo BFDE e a soma das áreas dos triângulos AED e BCF

Passo 1 — Descobrir o lado BF do paralelogramo

O perímetro do paralelogramo é dado, e como os lados opostos são iguais, podemos achar o outro lado. Isso é necessário para depois usar Pitágoras.

Por que esta fórmula: O perímetro de um paralelogramo é a soma dos quatro lados, mas como os opostos são iguais, temos 2 × (DF + BF) = perímetro.

2×(DF+BF)=P2 \times (DF + BF) = P

De onde vem cada valor: DFDF = enunciado: 12 cm · PP = enunciado: 58 cm

2×(12+BF)=582 \times (12 + BF) = 58
BF=17 cmBF = \boxed{17\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e achar BF = 46 cm.

Passo 2 — Achar a altura do retângulo

O triângulo ADE é retângulo com hipotenusa DE = BF (lados opostos do paralelogramo são iguais) e cateto AE = 15. A altura do retângulo é o outro cateto.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras relaciona os catetos e a hipotenusa: a² + b² = c².

DE2=AE2+h2DE^{2} = AE^{2} + h^{2}

De onde vem cada valor: DEDE = passo 1: BF = 17 cm (lados opostos do paralelogramo são iguais) · AEAE = enunciado: 15 cm · hh = definição: altura do retângulo, a descobrir

172=152+h217^{2} = 15^{2} + h^{2}
h=8 cmh = \boxed{8\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar DF = 12 como hipotenusa, mas DF é um lado do paralelogramo, não a hipotenusa do triângulo ADE.

Passo 3 — Achar o comprimento FC

O triângulo BCF também é retângulo, com hipotenusa BF = 17 e cateto BC = h = 8. Precisamos de FC para achar o comprimento total do retângulo.

Por que esta fórmula: Novamente Pitágoras: BF² = BC² + FC².

BF2=BC2+FC2BF^{2} = BC^{2} + FC^{2}

De onde vem cada valor: BFBF = passo 1: 17 cm · BCBC = passo 2: h = 8 cm · FCFC = definição: comprimento a descobrir

172=82+FC217^{2} = 8^{2} + FC^{2}
FC=15 cmFC = \boxed{15\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir FC com AE; ambos são 15, mas por coincidência.

Passo 4 — Calcular o comprimento do retângulo

O lado DC do retângulo é a soma de DF e FC. Precisamos disso para a área do retângulo.

Por que esta fórmula: DC = DF + FC, pois F está entre D e C.

DC=DF+FCDC = DF + FC

De onde vem cada valor: DFDF = enunciado: 12 cm · FCFC = passo 3: 15 cm

DC=12+15DC = 12 + 15
DC=27 cmDC = \boxed{27\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e usar só DF.

Passo 5 — Calcular as áreas

Com as dimensões, calculamos as áreas do retângulo e do paralelogramo. A soma dos triângulos é a diferença.

Por que esta fórmula: Área do retângulo = base × altura; área do paralelogramo = base × altura (a altura é a mesma do retângulo, pois as bases são paralelas).

Aret=DC×h,Apar=DF×hA_{ret} = DC \times h, \quad A_{par} = DF \times h

De onde vem cada valor: DCDC = passo 4: 27 cm · hh = passo 2: 8 cm · DFDF = enunciado: 12 cm

Aret=27×8=216,Apar=12×8=96A_{ret} = 27 \times 8 = 216, \quad A_{par} = 12 \times 8 = 96

A_ret = 216 cm², A_par = 96 cm²

NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura do paralelogramo como o lado inclinado BF, mas a altura é perpendicular à base.

Passo 6 — Calcular a soma das áreas dos triângulos

A soma das áreas dos dois triângulos é a área do retângulo menos a do paralelogramo, pois eles preenchem o restante.

Por que esta fórmula: A soma dos triângulos = área do retângulo − área do paralelogramo.

Atri=Aret−AparA_{tri} = A_{ret} - A_{par}

De onde vem cada valor: AretA_{ret} = passo 5: 216 cm² · AparA_{par} = passo 5: 96 cm²

Atri=216−96A_{tri} = 216 - 96
Atri=120 cm2A_tri = \boxed{120\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar calcular cada triângulo separadamente e errar a base ou altura.

Passo 7 — Calcular a razão pedida

A razão é a área do paralelogramo dividida pela soma das áreas dos triângulos.

Por que esta fórmula: Razão = A_par / A_tri.

R=AparAtriR = \frac{A_{par}}{A_{tri}}

De onde vem cada valor: AparA_{par} = passo 5: 96 cm² · AtriA_{tri} = passo 6: 120 cm²

R=96120=45R = \frac{96}{120} = \frac{4}{5}
R=4 /5R = \boxed{4\ /5}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão e responder 5/4.

Resposta: 4/5 — alternativa D

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