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Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2026

MatemáticaSistemas Lineares
Código
vu166996
Banca
VUNESP
Órgão
Pref SJRP
Ano
2026
Cargo
Ag CS ( )
Natanael tem o equivalente ao dobro do dinheiro que Mauro tem, menos 40 reais, e Roberta tem a metade do dinheiro que Patrícia tem e ainda mais 50 reais. Sabe-se que os quatro juntos têm mil reais e que Patrícia tem 210 reais a mais do que Mauro.   Qual a diferença entre as quantias de Natanael e Roberta?
  1. A20 reais.
  2. B30 reais.
  3. C10 reais.
  4. D40 reais.
  5. E50 reais.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 30 reais.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 30 reais — alternativa B.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Cada equação é uma frase matemática que relaciona as quantias de dinheiro das pessoas; resolver o sistema é achar os valores que satisfazem todas as frases de uma vez. Aqui, as incógnitas são os valores que cada um tem.

A estratégia é substituir: se uma equação diz que Patrícia tem 210 a mais que Mauro, podemos trocar 'Patrícia' por 'Mauro + 210' em qualquer outra equação. Isso reduz o número de incógnitas até sobrar só uma, que aí é fácil de achar. Depois, com esse valor, voltamos e calculamos os outros.

Esta questão pede exatamente isso: traduzir as frases em equações, substituir tudo em função de uma única incógnita (a de Mauro) e, no fim, subtrair os valores de Natanael e Roberta.

O que a questão dá

  • Natanael tem o dobro de Mauro menos 40 reais

  • Roberta tem a metade de Patrícia mais 50 reais

  • os quatro juntos têm 1000 reais

  • Patrícia tem 210 reais a mais que Mauro

O que queremos: a diferença entre as quantias de Natanael e Roberta

Passo 1 — Escrever as equações do problema

Antes de qualquer conta, precisamos transformar as frases em linguagem matemática. Cada relação vira uma equação, e é delas que vamos tirar os valores.

Por que esta fórmula: Cada frase do enunciado é uma equação: 'Natanael tem o dobro de Mauro menos 40' vira N = 2M - 40; 'Roberta tem a metade de Patrícia mais 50' vira R = P/2 + 50; 'Patrícia tem 210 a mais que Mauro' vira P = M + 210; e a soma dos quatro é 1000.

N=2M−40;R=P2+50;P=M+210;N+M+R+P=1000N = 2M - 40; R = \frac{P}{2} + 50; P = M + 210; N + M + R + P = 1000

De onde vem cada valor: NN = definição: quantia de Natanael · MM = definição: quantia de Mauro · RR = definição: quantia de Roberta · PP = definição: quantia de Patrícia

NÃO CAIA NESSA!

Errar a leitura de 'a metade de Patrícia e ainda mais 50': é (P/2) + 50, não (P+50)/2. A vírgula separa a metade do 'mais 50'.

Passo 2 — Substituir tudo em função de Mauro

Com quatro incógnitas, não dá para resolver direto. Mas como P = M + 210, podemos trocar P por M + 210 em todas as equações, e aí N e R também ficam só com M. Isso reduz o sistema a uma única equação com uma incógnita.

Por que esta fórmula: Substituímos N, R e P na equação da soma: N = 2M - 40, R = (M+210)/2 + 50, P = M + 210. Assim, a soma vira uma equação só com M.

(2M−40)+M+(M+2102+50)+(M+210)=1000(2M - 40) + M + \left(\frac{M + 210}{2} + 50\right) + (M + 210) = 1000

De onde vem cada valor: 2M−402M - 40 = passo 1: equação de N · MM = passo 1: quantia de Mauro · M+2102+50\frac{M + 210}{2} + 50 = passo 1: R com P substituído por M+210 · M+210M + 210 = passo 1: P = M + 210

(2M−40)+M+(M+2102+50)+(M+210)=1000(2M - 40) + M + \left(\frac{M + 210}{2} + 50\right) + (M + 210) = 1000
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de substituir P em R: usar R = P/2 + 50 sem trocar P por M+210.

Passo 3 — Simplificar a equação da soma

A equação ainda está com parênteses e fração; precisamos juntar os termos com M e os números separados para isolar M.

Por que esta fórmula: Somamos os coeficientes de M: 2M + M + M/2 + M = (2+1+0,5+1)M = 4,5M = 9M/2. Somamos as constantes: -40 + 105 + 50 + 210 = 325. Então a equação fica 9M/2 + 325 = 1000.

9M2+325=1000\frac{9M}{2} + 325 = 1000

De onde vem cada valor: 9M2\frac{9M}{2} = passo 2: soma dos termos com M · 325325 = passo 2: soma das constantes · 10001000 = enunciado: soma total

9M2+325=1000\frac{9M}{2} + 325 = 1000
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma das constantes: -40 + 105 + 50 + 210 = 325, não 325? Confira cada termo.

Passo 4 — Isolar e calcular o valor de Mauro

Agora a equação só tem M; resolvemos para achar quanto Mauro tem. Esse valor vai ser usado para calcular os outros.

Por que esta fórmula: Subtraímos 325 dos dois lados e depois multiplicamos por 2/9 para isolar M.

M=29×(1000−325)M = \frac{2}{9} \times (1000 - 325)

De onde vem cada valor: 10001000 = passo 3: total · 325325 = passo 3: constante · 29\frac{2}{9} = definição: inverso de 9/2

M=29×675=150 reaisM = \frac{2}{9} \times 675 = \boxed{150\ \text{reais}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2/9 e achar M = 675/9 = 75, que é a metade do correto.

Passo 5 — Calcular quanto Natanael tem

Com M = 150, voltamos à equação de Natanael para achar o valor dele.

Por que esta fórmula: Usamos N = 2M - 40, que veio do enunciado.

N=2M−40N = 2M - 40

De onde vem cada valor: MM = passo 4: 150 · 4040 = enunciado: menos 40

N=2×150−40=260 reaisN = 2 \times 150 - 40 = \boxed{260\ \text{reais}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a subtração: escrever 40 - 2M, o que daria -260.

Passo 6 — Calcular quanto Roberta tem

Precisamos do valor de Roberta para comparar com Natanael. Primeiro achamos Patrícia, porque Roberta depende dela.

Por que esta fórmula: Patrícia tem 210 a mais que Mauro: P = M + 210. Depois usamos R = P/2 + 50.

P=M+210;R=P2+50P = M + 210; R = \frac{P}{2} + 50

De onde vem cada valor: MM = passo 4: 150 · 210210 = enunciado: 210 a mais · 5050 = enunciado: mais 50

P=150+210=360;R=3602+50=230 reaisP = 150 + 210 = 360; R = \frac{360}{2} + 50 = \boxed{230\ \text{reais}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a ordem: calcular R = (P+50)/2 = 205, em vez de P/2 + 50 = 230.

Passo 7 — Subtrair as quantias de Natanael e Roberta

A pergunta é a diferença entre eles, então subtraímos os valores que acabamos de achar.

Por que esta fórmula: Diferença é subtração: N - R.

N−RN - R

De onde vem cada valor: NN = passo 5: 260 · RR = passo 6: 230

260−230=30 reais260 - 230 = \boxed{30\ \text{reais}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (R - N) e achar -30, esquecendo que diferença é o valor absoluto.

Resposta: 30 reais — alternativa B

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