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Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2026

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
vu167007
Banca
VUNESP
Órgão
CM Matão
Ano
2026
Cargo
Ag Leg ( )
Uma empresa possui duas filiais, A e B, de modo que a razão entre o número de funcionários da filial A para o número de funcionários da filial B é 56\frac{5}{6}. Após a contratação de 2 funcionários para a filial A e de nenhum funcionário para a filial B, a razão entre o número de funcionários da filial A para o número de funcionários da filial B passou a ser 78\frac{7}{8}.   O número total de funcionários dessas 2 filiais juntas, após as 2 contratações, passou a ser igual a
  1. A92.
  2. B90.
  3. C88.
  4. D86.
  5. E80.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 90.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 90 funcionários — alternativa B.

A ideia por trás

Razão é uma divisão entre duas quantidades: dizer que a razão entre A e B é 5/6 significa que, para cada 5 funcionários de A, há 6 em B. Isso não fixa os números exatos, mas sim a proporção entre eles — os valores podem ser 5 e 6, 10 e 12, 15 e 18, e assim por diante, sempre mantendo a mesma divisão.

Quando duas grandezas estão na razão a/b, podemos escrevê-las como a·k e b·k, onde k é um número que ajusta a proporção ao tamanho real. Se depois uma das grandezas muda (como A ganhar 2 funcionários), a nova razão fornece uma equação que permite descobrir k. Com k, encontramos os valores reais e o total pedido.

Esta questão usa duas razões em momentos diferentes: a inicial e a após a contratação. Montar a equação com a segunda razão e resolver para k é o caminho para achar os números reais.

O que a questão dá

  • razão inicial entre funcionários de A e B = 5/6

  • contratação de 2 funcionários na filial A

  • nova razão entre A e B = 7/8

O que queremos: o número total de funcionários das duas filiais após as contratações

Passo 1 — Escrever A e B com a constante k

A razão inicial 5/6 não diz quantos funcionários há, apenas a proporção. Para transformar essa proporção em números possíveis, usamos uma constante k: A = 5k e B = 6k. Assim, qualquer valor que mantenha a razão 5/6 é representado.

Por que esta fórmula: Se A/B = 5/6, então A = 5k e B = 6k, pois 5k/6k = 5/6. Essa é a forma de parametrizar grandezas proporcionais.

A=5k,B=6kA = 5k, \quad B = 6k

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: razão inicial 5/6 · 66 = enunciado: razão inicial 5/6 · kk = constante de proporcionalidade a determinar

NÃO CAIA NESSA!

Achar que A = 5 e B = 6 diretamente, sem a constante k — isso só valeria se o total fosse 11, o que não é o caso.

Passo 2 — Montar a equação com a nova razão

Após contratar 2 em A, o novo número de funcionários de A é A + 2, e B continua B. A razão entre eles passou a ser 7/8, então essa igualdade é a equação que vamos resolver.

Por que esta fórmula: A nova razão é (A + 2)/B = 7/8. Substituindo A = 5k e B = 6k, obtemos uma equação apenas com k.

5k+26k=78\frac{5k + 2}{6k} = \frac{7}{8}

De onde vem cada valor: 5k+25k + 2 = passo 1: A = 5k, mais 2 contratados · 6k6k = passo 1: B = 6k · 7/87/8 = enunciado: nova razão

5k+26k=78\frac{5k + 2}{6k} = \frac{7}{8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 2 em A antes de montar a razão — isso daria 5k/6k = 5/6, que não é a nova razão.

Passo 3 — Resolver a equação para achar k

Com a equação montada, precisamos isolar k. Multiplicar cruzado elimina as frações e transforma a igualdade em uma equação linear simples.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada: se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aqui, (5k + 2)·8 = 6k·7.

8(5k+2)=7⋅6k8(5k + 2) = 7 \cdot 6k

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: nova razão 7/8, denominador · 5k+25k + 2 = passo 2: numerador · 77 = enunciado: nova razão 7/8, numerador · 6k6k = passo 2: denominador

8(5k+2)=42k8(5k + 2) = 42k
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 8·5k = 40k, mas 8·2 = 16, não 8·2k.

Passo 4 — Isolar k

A equação 40k + 16 = 42k tem k dos dois lados. Subtrair 40k de ambos os lados deixa k sozinho de um lado e o número do outro.

Por que esta fórmula: Para isolar k, fazemos operações inversas: subtrair 40k e depois dividir por 2.

16=2k16 = 2k

De onde vem cada valor: 1616 = passo 3: 40k + 16 = 42k, subtraindo 40k · 22 = passo 3: 42k - 40k

16=2k16 = 2k
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair 16 em vez de 40k, ou dividir por 40 em vez de 2.

Passo 5 — Calcular k

Com 16 = 2k, dividimos ambos os lados por 2 para obter k. Esse valor é a chave para encontrar A e B.

Por que esta fórmula: k = 16/2 = 8.

k=162k = \frac{16}{2}

De onde vem cada valor: 1616 = passo 4 · 22 = passo 4

k=162k = \frac{16}{2}
k=8k = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 16 por 8, obtendo 2 — confundir a operação.

Passo 6 — Encontrar A e B iniciais

Com k = 8, voltamos às expressões do passo 1 para achar quantos funcionários cada filial tinha antes das contratações.

Por que esta fórmula: A = 5k e B = 6k, substituindo k = 8.

A=5⋅8,B=6⋅8A = 5 \cdot 8, \quad B = 6 \cdot 8

De onde vem cada valor: 55 = passo 1 · 66 = passo 1 · 88 = passo 5

A=40,B=48A = 40, \quad B = 48

A = 40, B = 48

NÃO CAIA NESSA!

Usar k = 2 (erro do passo 5) e obter A = 10, B = 12.

Passo 7 — Calcular o total após as contratações

A pergunta é o total DEPOIS de contratar 2 em A. Então somamos A + 2 (novo valor de A) com B.

Por que esta fórmula: Total = (A + 2) + B.

Total=(A+2)+BTotal = (A + 2) + B

De onde vem cada valor: AA = passo 6: 40 · 22 = enunciado: contratação · BB = passo 6: 48

Total=(40+2)+48Total = (40 + 2) + 48
Total=90Total = \boxed{90}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os 2 e responder 88 (total antes), ou somar 2 duas vezes e responder 92.

Resposta: 90 funcionários — alternativa B

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