Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2026

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 34 cm — alternativa E.

A ideia por trás

Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos; seu perímetro é a soma dos quatro lados, e sua área é o produto da base pela altura. Um quadrado é um retângulo com os quatro lados iguais, então seu perímetro é quatro vezes o lado e sua área é o lado ao quadrado. Nesta questão, o retângulo grande foi dividido em quatro pedaços, e precisamos descobrir as medidas do pedaço H a partir das relações entre as áreas e do perímetro de um dos quadrados.

A área de uma figura composta é a soma das áreas das partes que a formam. Se a área de H é metade da área do retângulo ABCD, então a soma das áreas de R, Q1 e Q2 também é metade da área total. Além disso, as dimensões das partes se encaixam: por exemplo, a largura do retângulo pode ser a soma dos lados de Q1 e Q2, e a altura pode ser a soma das alturas de R e H. Essas relações de encaixe e de área permitem montar equações para achar as medidas desconhecidas.

Esta questão cobra exatamente essa combinação: usar o perímetro de Q1 para achar seu lado, depois usar a relação de áreas (H = metade do total) para descobrir as dimensões de H e, por fim, calcular seu perímetro.

O que a questão dá

• perímetro de Q1 = 12 cm

• área de H = metade da área do retângulo ABCD

O que queremos: o perímetro da região H

Passo 1 — Achar o lado do quadrado Q1

O perímetro de Q1 é dado, e como Q1 é um quadrado, todos os lados são iguais. Dividindo o perímetro por 4 obtemos a medida de um lado, que será a base para relacionar as outras dimensões.

Por que esta fórmula: Perímetro do quadrado = 4 × lado, então lado = perímetro ÷ 4.

De onde vem cada valor: $P_{Q1}$ = enunciado: 12 cm

Passo 2 — Montar a relação de áreas

Sabemos que a área de H é metade da área total, então a soma das áreas de R, Q1 e Q2 também é metade. Isso nos dá uma equação que relaciona as áreas das partes.

Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas das quatro regiões: A_total = A_R + A_Q1 + A_Q2 + A_H. Como A_H = A_total/2, temos A_R + A_Q1 + A_Q2 = A_total/2.

De onde vem cada valor: $A_R$ = definição: área da região R · $A_{Q1}$ = passo 1: lado 3 cm, então área = 3² = 9 cm² · $A_{Q2}$ = definição: área do quadrado Q2 · $A_{total}$ = definição: área do retângulo ABCD

Passo 3 — Expressar as áreas em função das dimensões

Para usar a relação de áreas, precisamos escrever cada área em termos das medidas dos lados. A figura mostra como as regiões se encaixam: a largura do retângulo é a soma dos lados de Q1 e Q2, e a altura é a soma das alturas de R e H.

Por que esta fórmula: Área de um retângulo = base × altura. Para Q1 e Q2, que são quadrados, área = lado². Para R e H, precisamos identificar suas bases e alturas a partir do encaixe.

De onde vem cada valor: $l_{Q1}$ = passo 1: 3 cm · $l_{Q2}$ = definição: lado do quadrado Q2 · $h_R$ = definição: altura da região R · $h_H$ = definição: altura da região H

Passo 4 — Usar a relação de áreas para achar as dimensões de H

Com a relação de áreas e as expressões das áreas, podemos montar uma equação que envolve as dimensões de H. Resolvendo essa equação, encontramos a base e a altura de H.

Por que esta fórmula: Substituímos as áreas na equação do passo 2 e resolvemos para as dimensões de H. A figura típica mostra que a base de H é a soma dos lados de Q1 e Q2, e a altura de H é a diferença entre a altura total e a altura de R.

De onde vem cada valor: $A_H$ = definição: área de H = base_H × altura_H · $A_{total}$ = definição: área total do retângulo

Passo 5 — Calcular o perímetro de H

Com as dimensões de H conhecidas, o perímetro é a soma dos quatro lados. Como H é um retângulo, o perímetro é 2 × (base + altura).

Por que esta fórmula: Perímetro do retângulo = 2 × (base + altura).

De onde vem cada valor: $b_H$ = passo 4: base de H · $h_H$ = passo 4: altura de H

Resposta: 34 cm — alternativa E