João aplicou R$ 15.000,00 durante alguns anos em um banco, e, como resultado da aplicação, o valor aplicado aumentou em 12%. Ele retirou então todo esse valor, deu metade para o filho e aplicou a outra metade durante alguns anos no banco, sendo que, como resultado dessa última aplicação, o valor aplicado aumentou em 17,5%. João então retirou todo esse valor a fim de usá-lo para comprar o maior número possível de unidades de certa mercadoria para sua empresa, ao valor unitário de R$ 1.080,00. O número de unidades da mercadoria que João conseguirá comprar é
A9.
B11.
C10.
D12.
E8.
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GabaritoA — 9.
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Porcentagem: aumentos sucessivos e divisão do montante
Gabarito: letra A — João conseguirá comprar 9 unidades. O caminho é: aplicar o aumento de 12% sobre R$ 15.000,00, dividir o resultado ao meio, aplicar o aumento de 17,5% sobre essa metade e, por fim, dividir o montante final pelo preço unitário de R$ 1.080,00, tomando o maior inteiro que não ultrapasse o valor disponível.
Porcentagem é a razão com denominador 100: dizer que algo aumentou 12% significa que, para cada 100 unidades do valor, houve um acréscimo de 12 unidades. Quando aplicamos um aumento percentual, o novo valor é obtido multiplicando o valor original pelo fator de aumento . Assim, um aumento de 12% corresponde ao fator ; um aumento de 17,5% corresponde ao fator . Essa é a ferramenta central da questão: em vez de calcular o percentual separadamente e somar, multiplicamos o valor pelo fator — o que já incorpora o acréscimo.
O ponto mais delicado é que os aumentos são sucessivos, mas não incidem sobre a mesma base. O primeiro aumento de 12% incide sobre R$ 15.000,00; depois, João retira metade do montante e aplica essa metade, de modo que o segundo aumento de 17,5% incide sobre um valor diferente do inicial. Por isso, não se pode somar os percentuais (12% + 17,5% = 29,5%) e aplicar de uma vez: isso daria um resultado incorreto, pois o segundo aumento não age sobre o valor original, mas sobre a metade já acrescida do primeiro aumento. A ordem das operações é: aumentar, dividir, aumentar.
Vamos ao cálculo passo a passo:
Primeiro aumento (12%): .
Divisão ao meio: .
Segundo aumento (17,5%): .
Divisão pelo preço unitário: .
Como João quer comprar o maior número possível de unidades e não pode comprar fração de mercadoria, ele compra 9 unidades (9 × R$ 1.080,00 = R$ 9.720,00), sobrando R$ 150,00. A décima unidade custaria R$ 1.080,00, valor que excede o montante disponível de R$ 9.870,00.
A pegadinha clássica deste tipo de questão é arredondar para cima (10 unidades) por engano, esquecendo que o número de unidades deve ser inteiro e não pode ultrapassar o valor disponível. Outra armadilha é aplicar os aumentos sobre a base errada — por exemplo, aplicar o segundo aumento sobre os R$ 16.800,00 inteiros, ignorando a divisão ao meio. Guarde o fluxo: aumento → divisão → aumento → divisão pelo preço, sempre com o fator de aumento correto.
1Aumento de 12% (×1,12)
2Divisão ao meio (÷2)
3Aumento de 17,5% (×1,175)
4Divisão pelo preço (piso)
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Etapa
Valor de referência
Fator de aumento
Resultado
1º aumento (12%)
R$ 15.000,00
1,12
R$ 16.800,00
Divisão ao meio
R$ 16.800,00
÷ 2
R$ 8.400,00
2º aumento (17,5%)
R$ 8.400,00
1,175
R$ 9.870,00
Compra (preço unitário)
R$ 9.870,00
÷ R$ 1.080,00
9,138… → 9 unidades
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
O cálculo completo confirma: R$ 15.000,00 × 1,12 = R$ 16.800,00; metade = R$ 8.400,00; R$ 8.400,00 × 1,175 = R$ 9.870,00; R$ 9.870,00 ÷ R$ 1.080,00 = 9,138..., logo o maior número inteiro de unidades é 9. Cada unidade custa R$ 1.080,00, e 9 unidades custam R$ 9.720,00, valor inferior ao montante de R$ 9.870,00 — sobram R$ 150,00. A décima unidade custaria R$ 1.080,00, ultrapassando o disponível.
Alternativa B — ❌ Incorreta
11 unidades custariam 11 × R$ 1.080,00 = R$ 11.880,00, valor muito acima dos R$ 9.870,00 disponíveis. Esse número não corresponde a nenhuma etapa do cálculo; provavelmente resulta de um erro de arredondamento grosseiro ou de aplicar os aumentos sobre o valor total sem dividir ao meio (o que daria R$ 19.740,00, ainda assim insuficiente para 11 unidades).
Alternativa C — ❌ Incorreta
10 unidades custariam R$ 10.800,00, valor que excede os R$ 9.870,00 disponíveis. Este é o distrator mais perigoso: o aluno que calcula corretamente o montante (R$ 9.870,00) e divide por R$ 1.080,00 obtém 9,138... e, por descuido, arredonda para cima, esquecendo que não há dinheiro suficiente para a décima unidade. A regra é sempre arredondar para baixo quando o valor não é exato.
Alternativa D — ❌ Incorreta
12 unidades custariam 12 × R$ 1.080,00 = R$ 12.960,00, muito acima do montante disponível. Esse número não tem relação com os cálculos; pode surgir de uma soma incorreta dos percentuais (12% + 17,5% = 29,5% aplicado sobre R$ 15.000,00, dando R$ 19.425,00, que dividido por R$ 1.080,00 daria aproximadamente 17,98 — ainda assim não 12).
Alternativa E — ❌ Incorreta
8 unidades custariam 8 × R$ 1.080,00 = R$ 8.640,00, valor inferior ao disponível (R$ 9.870,00), mas não é o maior número possível. O aluno que erra ao calcular o montante final — por exemplo, esquecendo o segundo aumento (R$ 8.400,00 ÷ R$ 1.080,00 = 7,77, que arredondado daria 8) — chegaria a esse número. Mas com o segundo aumento corretamente aplicado, o montante sobe para R$ 9.870,00, permitindo 9 unidades.
PEGA ESSA DICA!
Em questões de "maior número possível de unidades", nunca arredonde para cima — o número de unidades deve ser inteiro e o custo total não pode ultrapassar o valor disponível. Calcule a divisão exata e tome o piso (parte inteira). Para conferir, multiplique o número de unidades pelo preço unitário e verifique se o resultado é menor ou igual ao montante.