GabaritoB — 50 cm.
Gabarito: letra B — a conta chega a 50 cm — alternativa B.
Um prisma reto de base retangular é um sólido com duas bases iguais em forma de retângulo e faces laterais que são retângulos perpendiculares às bases. O volume de qualquer prisma é a área da base multiplicada pela altura, e a área de um retângulo é o produto de seus dois lados adjacentes.
A fórmula do volume é V = A_base × h, onde A_base = comprimento × largura. Se a base tem lados 10 cm e x cm, e a altura é o triplo da maior aresta (que é x), então h = 3x. Assim, V = 10 × x × 3x = 30x². Quanto maior o lado x, maior o volume, e a relação é quadrática: dobrar x quadruplica o volume.
Esta questão pede o perímetro da base, mas para isso precisamos descobrir o lado desconhecido x usando o volume dado. A relação entre volume, área da base e altura é o caminho.
menor aresta da base = 10 cm
altura do prisma = 3 × maior aresta da base
volume do prisma = 6750 cm³
O que queremos: o perímetro da base retangular
A base é um retângulo com um lado conhecido (10 cm) e outro desconhecido. Para montar a fórmula do volume, precisamos dar um nome a esse lado desconhecido, então chamamos de x.
Confundir qual lado é o maior: o enunciado diz que a menor aresta é 10 cm, então x é o maior.
A altura do prisma é o triplo da maior aresta da base, que é x. Precisamos dessa relação para substituir na fórmula do volume.
Por que esta fórmula: O enunciado define diretamente: altura = 3 × (maior aresta da base).
De onde vem cada valor: = passo 1: lado maior da base · = enunciado: 'o triplo da medida da maior aresta da base'
Usar 3 × 10 = 30 como altura, esquecendo que a maior aresta é x, não 10.
Com a área da base (10 × x) e a altura (3x), podemos escrever o volume em função de x e igualar ao valor dado, criando uma equação para descobrir x.
Por que esta fórmula: O volume de um prisma é sempre área da base vezes altura. Aqui a base é retângulo, então área = 10 × x.
De onde vem cada valor: = enunciado: menor aresta da base = 10 cm · = passo 1: lado maior da base · = passo 2: altura do prisma
Esquecer de multiplicar os dois x, resultando em 30x em vez de 30x².
A equação tem uma multiplicação que pode ser simplificada para facilitar o isolamento de x.
Por que esta fórmula: Multiplicar os coeficientes e as variáveis: 10 × 3 = 30 e x × x = x².
De onde vem cada valor: = enunciado: volume do sólido · = constante: 10 × 3 · = definição: x × x
Errar a multiplicação: 10 × 3 = 30, não 13.
Para encontrar x, precisamos deixá-lo sozinho de um lado da equação. Dividimos ambos os lados por 30.
Por que esta fórmula: A equação é 30x² = 6750; dividir por 30 dos dois lados mantém a igualdade e isola x².
De onde vem cada valor: = passo 4: volume · = passo 4: coeficiente de x²
Dividir errado: 6750 ÷ 30 = 225, não 2250.
x² = 225, então x é a raiz quadrada de 225. Como x é um comprimento, usamos apenas o valor positivo.
Por que esta fórmula: A raiz quadrada desfaz a potência ao quadrado.
De onde vem cada valor: = passo 5: x²
Esquecer que raiz quadrada tem dois resultados, mas comprimento é sempre positivo.
Agora que sabemos os dois lados da base (10 cm e 15 cm), podemos calcular o perímetro, que é a soma de todos os lados do retângulo.
Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é 2 × (comprimento + largura), pois cada lado aparece duas vezes.
De onde vem cada valor: = enunciado: menor aresta da base · = passo 6: 15 cm
Esquecer de multiplicar por 2, dando 25 cm, ou somar a altura no perímetro.
Resposta: 50 cm — alternativa B
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