Em uma caixa de formato cúbico, cujas medidas internas das arestas são 40 cm, foram colocados 4 vasilhames cilíndricos retos idênticos. Cada vasilhame tangencia duas faces da caixa, e, também, outros dois desses vasilhames, conforme a vista superior da caixa a seguir:
Qual é o volume, em litros, de um desses vasilhames?
Utilize: π = 3 e 1 L = 1 dm3 = 1 000 cm3
A12 L
B13 L
C14 L
D15 L
E16 L
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GabaritoA — 12 L
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 12 L — alternativa A.
A ideia por trás
O volume de um cilindro reto é a quantidade de espaço que ele ocupa, calculada como a área da base circular vezes a altura. A base é um círculo de raio r, e a altura h é a distância entre as duas bases. No dia a dia, volume de líquidos é medido em litros, e 1 litro equivale a 1000 cm³.
A fórmula é V = π · r² · h. O raio entra ao quadrado, então dobrar o raio quadruplica o volume, enquanto dobrar a altura apenas dobra. Para usar essa fórmula, precisamos conhecer r e h, e depois converter o resultado de cm³ para litros, dividindo por 1000.
Esta questão exige descobrir o raio do cilindro a partir da disposição geométrica dos quatro vasilhames na caixa cúbica, e depois aplicar a fórmula do volume com a conversão de unidades.
O que a questão dá
aresta da caixa cúbica = 40 cm
4 vasilhames cilíndricos idênticos
cada vasilhame tangencia duas faces da caixa e outros dois vasilhames
π = 3
1 L = 1 dm³ = 1000 cm³
O que queremos: o volume de um vasilhame, em litros
Passo 1 — Descobrir o raio do cilindro
Para calcular o volume, precisamos do raio da base. A disposição dos cilindros na caixa nos dá uma relação entre o raio e a aresta da caixa.
Por que esta fórmula: Cada cilindro tangencia duas faces adjacentes da caixa, então seu centro está a uma distância r de cada uma dessas faces. Os centros dos quatro cilindros formam um quadrado de lado 2r (distância entre centros de cilindros vizinhos). A aresta da caixa é composta por r (do centro até a face esquerda) + 2r (lado do quadrado) + r (do centro até a face direita) = 4r. Portanto, 40 = 4r.
De onde vem cada valor: = enunciado: aresta da caixa = 40 cm · = constante: soma de r + 2r + r
NÃO CAIA NESSA!
Dividir 40 por 3 em vez de 4, achando r ≈ 13,33 cm — isso acontece se você esquecer que são dois raios nas extremidades e um diâmetro no meio.
Passo 2 — Identificar a altura do cilindro
O volume do cilindro depende da altura. Como o vasilhame é reto e está apoiado na base da caixa, ele ocupa toda a altura da caixa.
Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma interpretação geométrica: a altura do cilindro é igual à aresta da caixa, pois ele está encaixado de baixo até a tampa.
NÃO CAIA NESSA!
Achar que a altura é menor que 40 cm, mas o cilindro preenche a caixa verticalmente.
Passo 3 — Calcular o volume em cm³
Com o raio e a altura, aplicamos a fórmula do volume do cilindro. Usamos π = 3 como dado.
Por que esta fórmula: A fórmula do volume do cilindro é V = π · r² · h, pois o volume é a área da base (πr²) vezes a altura.
De onde vem cada valor: = enunciado: π = 3 · = passo 1: 10 cm · = passo 2: 40 cm
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de elevar o raio ao quadrado, calculando 3 · 10 · 40 = 1200 cm³.
Passo 4 — Converter o volume para litros
A questão pede o volume em litros, e o cálculo deu em cm³. A conversão é direta: 1 L = 1000 cm³.
Por que esta fórmula: Como 1 L equivale a 1000 cm³, dividimos o volume em cm³ por 1000 para obter litros.
V_L = fracV_cm^31000
De onde vem cada valor: V_cm^3 = passo 3: 12000 cm³ · = enunciado: 1 L = 1000 cm³
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar por 1000 em vez de dividir, obtendo 12.000.000 L — absurdo.
