Matemática · VUNESP · 2026 | Questão sqc-vu167062

Trapézio retângulo: área, bases e perímetro

Gabarito: letra C — o perímetro do trapézio é 57 + 3√41 m. A resolução passa por montar a equação da área do trapézio ( $A = \frac{(B+b) \cdot h}{2}$ ), descobrir que a altura e a base menor medem 15 m, a base maior 27 m, e então calcular o lado oblíquo pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura, pela diferença das bases e pelo próprio lado oblíquo.

O trapézio retângulo é um quadrilátero com dois lados paralelos (as bases) e dois ângulos retos. A altura, nesse caso, coincide com um dos lados não paralelos. A área de qualquer trapézio é dada pela semissoma das bases multiplicada pela altura: $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$ , onde $B$ é a base maior, $b$ a base menor e $h$ a altura.

Vamos organizar os dados do enunciado:

Área: $A = 315 \, m^2$
Altura = base menor: $h = b$
Base maior supera a base menor em 12 m: $B = b + 12$

Substituindo na fórmula da área:

315 = \frac{(b + 12 + b) \cdot b}{2} = \frac{(2b + 12) \cdot b}{2} = \frac{2b^2 + 12b}{2} = b^2 + 6b

Chegamos à equação do 2º grau:

b^2 + 6b - 315 = 0

Resolvendo por Bhaskara ( $a=1$ , $b=6$ , $c=-315$ ):

\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-315) = 36 + 1260 = 1296

b = \frac{-6 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{-6 \pm 36}{2}

Como a medida é positiva, usamos apenas a raiz positiva:

b = \frac{-6 + 36}{2} = \frac{30}{2} = 15

Portanto:

Base menor: $b = 15 \, m$
Altura: $h = 15 \, m$
Base maior: $B = 15 + 12 = 27 \, m$

Agora, para o perímetro, precisamos do lado oblíquo (o lado não paralelo que não é a altura). No trapézio retângulo, ao traçar a altura a partir do vértice da base menor, formamos um triângulo retângulo cujos catetos são a altura (15 m) e a diferença entre as bases (27 − 15 = 12 m). O lado oblíquo é a hipotenusa desse triângulo.

Pelo Teorema de Pitágoras:

L^2 = 15^2 + 12^2 = 225 + 144 = 369

L = \sqrt{369} = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41}

O perímetro é a soma de todos os lados:

P = B + b + h + L = 27 + 15 + 15 + 3\sqrt{41} = 57 + 3\sqrt{41}

A pegadinha clássica desta questão é o aluno esquecer de somar o lado oblíquo ou errar a fatoração de √369, escrevendo 2√41 em vez de 3√41. Outro erro comum é montar a equação da área de forma incorreta, esquecendo de dividir por 2.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a diferença das bases (12 m) e a altura (15 m) na hora de aplicar Pitágoras. O aluno que usa 12 como altura e 15 como diferença obtém $\sqrt{369}$ de qualquer forma, mas quem troca os valores na equação da área chega a um trapézio diferente. Fique atento: a altura é sempre perpendicular às bases, e no trapézio retângulo ela coincide com o lado vertical.

Distribuição de medidas do trapézio — só Bases: 27; só Altura: 15; Bases∩Altura: 15

Alternativa A — ❌ Incorreta

57 + √41 — O erro está na fatoração de √369. O aluno que calcula √369 = √(9·41) e esquece de extrair a raiz de 9, deixando √41, chega a esse valor. O correto é 3√41, pois √9 = 3.

Alternativa B — ❌ Incorreta

57 + 2√41 — Aqui o aluno fatora √369 como √(4·41), o que está errado, pois 4·41 = 164, não 369. A fatoração correta é 369 = 9·41, e √9 = 3, resultando em 3√41.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

57 + 3√41 — Este é o valor correto. A soma dos lados é 27 + 15 + 15 + 3√41 = 57 + 3√41. A fatoração de √369 = √(9·41) = 3√41 está correta, e a soma das partes inteiras (27 + 15 + 15 = 57) também.

Alternativa D — ❌ Incorreta

60 + 3√41 — O erro está na soma das partes inteiras. O aluno soma 27 + 15 + 15 = 57, mas escreve 60, provavelmente por erro de adição ou por considerar a base maior como 30 em vez de 27.

Alternativa E — ❌ Incorreta

60 + 4√41 — Aqui há dois erros: a soma das partes inteiras (57 → 60) e a fatoração de √369 (3√41 → 4√41). O aluno provavelmente errou tanto a adição quanto a extração da raiz.

Gabarito: letra C