Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Geometria Espacial: cilindro e cubo

Gabarito: letra B — a razão entre a aresta do cubo e o raio da base do cilindro é $\sqrt{3\pi}$. A chave está em traduzir a frase "o volume do cilindro é igual à terça parte do volume do cubo" para a equação $\pi r^2 h = \frac{1}{3} a^3$, lembrando que as alturas são iguais ($h = a$).

O problema mistura dois sólidos — um cilindro reto e um cubo — e pede uma razão entre suas medidas lineares. Para resolvê-lo, precisamos das fórmulas de volume de ambos. O volume do cilindro é dado no enunciado: $V_{cilindro} = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ a altura. O volume do cubo é $V_{cubo} = a^3$, onde $a$ é a medida da aresta. O ponto central é que o enunciado afirma que o volume do cilindro é igual à terça parte do volume do cubo, ou seja, $V_{cilindro} = \frac{1}{3} V_{cubo}$. Além disso, o cubo tem a mesma altura do cilindro — e como a altura de um cubo é exatamente a sua aresta, temos $h = a$.

Substituindo as fórmulas na relação dada, obtemos $\pi r^2 h = \frac{1}{3} a^3$. Como $h = a$, podemos substituir $h$ por $a$ na equação: $\pi r^2 a = \frac{1}{3} a^3$. Agora, dividimos ambos os lados por $a$ (que é positivo, pois é uma medida): $\pi r^2 = \frac{1}{3} a^2$. Isolando a razão pedida, $\frac{a}{r}$, primeiro multiplicamos ambos os lados por 3: $3\pi r^2 = a^2$. Em seguida, dividimos por $r^2$: $3\pi = \frac{a^2}{r^2}$. Finalmente, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados: $\frac{a}{r} = \sqrt{3\pi}$. Como $a$ e $r$ são medidas positivas, a raiz positiva é a única solução válida.

A pegadinha clássica desta questão é inverter a relação de proporcionalidade: o candidato pode escrever $V_{cilindro} = 3 \cdot V_{cubo}$ em vez de $V_{cilindro} = \frac{1}{3} V_{cubo}$, o que levaria a $\frac{a}{r} = \sqrt{\frac{\pi}{3}}$, que não está entre as alternativas. Outra armadilha é esquecer que a altura do cubo é igual à sua aresta, tentando usar uma variável separada para a altura do cubo, o que complica a resolução sem necessidade. A questão testa diretamente a capacidade de traduzir um enunciado em linguagem matemática e manipular equações com expoentes e raízes.

Guarde o passo a passo: (1) escrever as duas fórmulas de volume, (2) montar a equação a partir da relação dada, (3) usar a igualdade das alturas para simplificar, (4) isolar a razão pedida. É exatamente esse fluxo que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $3\sqrt{\pi}$. Esse valor surgiria se, ao isolar a razão, o 3 ficasse fora da raiz, como em $\frac{a}{r} = 3\sqrt{\pi}$. Isso aconteceria se a equação fosse $a^2 = 9\pi r^2$, o que não decorre da relação dada. O erro está em não extrair a raiz quadrada do fator 3 junto com $\pi$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa correta é $\sqrt{3\pi}$. Como demonstrado, partindo de $\pi r^2 h = \frac{1}{3} a^3$ e usando $h = a$, chegamos a $a^2 = 3\pi r^2$, e portanto $\frac{a}{r} = \sqrt{3\pi}$. A raiz quadrada de $3\pi$ é exatamente o que a alternativa apresenta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $3\sqrt{2\pi}$. Esse valor não tem relação com a equação derivada. O fator 2 dentro da raiz não aparece em nenhuma etapa do cálculo, e o 3 fora da raiz também não. É um distrator que mistura coeficientes de forma arbitrária.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\pi\sqrt{3}$. Esse valor surgiria se a razão fosse $\frac{a}{r} = \pi\sqrt{3}$, o que implicaria $a^2 = 3\pi^2 r^2$. Isso ocorreria se o $\pi$ fosse elevado ao quadrado na equação, o que não acontece. O erro está em confundir a raiz quadrada de $3\pi$ com $\pi$ vezes a raiz de 3.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{3\pi}}{2}$. Esse valor surgiria se houvesse um fator 2 no denominador, o que não aparece na equação. Isso poderia ocorrer se a relação fosse $V_{cilindro} = \frac{1}{6} V_{cubo}$ ou se houvesse uma divisão por 2 em alguma etapa, o que não é o caso.

Gabarito: letra B