GabaritoD — 14h30.
Gabarito: letra D — a conta chega a 14h30 — alternativa D.
Quando dois eventos se repetem em intervalos regulares, o menor intervalo de tempo em que eles voltam a acontecer juntos é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) desses intervalos. O MMC é o menor número que é múltiplo de todos os números dados, e ele aparece em problemas de sincronização, como duas pessoas correndo em uma pista: se uma dá uma volta a cada 3 minutos e outra a cada 4, elas se encontram no início a cada 12 minutos, que é o MMC de 3 e 4.
Para calcular o MMC, fatoramos cada número em primos e tomamos cada fator com o maior expoente que aparece. Por exemplo, 90 = 2 × 3² × 5 e 150 = 2 × 3 × 5²; o MMC é 2 × 3² × 5² = 450. Esse valor é o menor múltiplo comum, e ele cresce quando os números têm fatores primos diferentes ou expoentes altos. A condição de validade é que os intervalos sejam constantes, como no enunciado.
Aqui, os intervalos são 1h30 e 2h30, que precisam ser convertidos para minutos antes de calcular o MMC. Depois, somamos o MMC ao horário inicial para achar a próxima coincidência.
intervalo das fornadas de pães = 1 h 30 min
intervalo das fornadas de sonhos = 2 h 30 min
horário inicial = 7h
O que queremos: o próximo horário em que as duas fornadas saem juntas
Os intervalos estão em horas e minutos, mas o MMC é mais fácil de calcular com uma unidade só. Minutos é a unidade natural, pois os dois intervalos são múltiplos de 30 minutos.
Por que esta fórmula: 1 hora = 60 minutos, então 1h30 = 60 + 30 = 90 minutos, e 2h30 = 120 + 30 = 150 minutos.
Tratar 1h30 como 1,3 horas em vez de 1,5 horas — isso daria 78 minutos, errado.
Para achar o MMC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada número. Isso mostra quais fatores e expoentes entram no múltiplo comum.
Por que esta fórmula: Fatorar é dividir o número pelos menores primos até sobrar 1. 90 = 2 × 45 = 2 × 3 × 15 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3² × 5; 150 = 2 × 75 = 2 × 3 × 25 = 2 × 3 × 5².
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1
90 = 2 × 3² × 5; 150 = 2 × 3 × 5²
Esquecer de incluir o fator 2 ou usar expoentes errados, como 3 em vez de 3².
Com as fatorações, o MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns com o maior expoente. Isso garante que o resultado seja múltiplo de ambos os números.
Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos com o maior expoente: 2 (aparece em ambos), 3² (maior expoente de 3) e 5² (maior expoente de 5).
De onde vem cada valor: = passo 2: fator comum com expoente 1 · = passo 2: maior expoente de 3 (em 90) · = passo 2: maior expoente de 5 (em 150)
Multiplicar apenas os fatores comuns (2 × 3 × 5 = 30), o que daria um múltiplo comum, mas não o menor.
O MMC está em minutos, mas o horário final é pedido em horas. Precisamos converter para somar ao horário inicial.
Por que esta fórmula: 1 hora = 60 minutos, então 450 ÷ 60 = 7,5 horas, que é 7 horas e 30 minutos.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = constante: 1 hora em minutos
Esquecer que 0,5 hora é 30 minutos, não 5 minutos.
O MMC é o tempo que passa até a próxima coincidência. Somando ao horário de partida, obtemos o horário em que as fornadas saem juntas novamente.
Por que esta fórmula: Horário final = horário inicial + intervalo. 7h + 7h30 = 14h30.
De onde vem cada valor: = enunciado: às 7h · = passo 4
Somar os intervalos originais (1h30 + 2h30 = 4h) e obter 11h — isso não é múltiplo comum.
Resposta: 14h30 — alternativa D
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