A figura a seguir ilustra, fora de escala, o contorno do pátio interno de uma edificação, cujos comprimentos, representados pelos segmentos AE e DC são, respectivamente, 13 m e 12 m. Considerando que o espaço representado pelo quadrilátero ABCE é um quadrado, e que o triângulo CDE é retângulo em D, é correto afirmar que o perímetro do pátio representado pelo polígono ABCDE é
A56 m.
B60 m.
C69 m.
D72 m.
E76 m.
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GabaritoA — 56 m.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 56 m — alternativa A.
A ideia por trás
O perímetro de uma figura plana é a soma dos comprimentos de todos os lados do seu contorno. Quando a figura é composta por várias formas geométricas, como um quadrado e um triângulo, é preciso identificar quais segmentos fazem parte do contorno externo e quais são apenas divisões internas, que não entram na soma.
Um quadrado tem os quatro lados iguais; se um lado mede 13 m, todos os outros também medem 13 m. Um triângulo retângulo obedece ao Teorema de Pitágoras: a² + b² = c², onde c é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) e a e b são os catetos. Essa relação permite descobrir um lado desconhecido quando se conhecem os outros dois.
Esta questão mistura um quadrado e um triângulo retângulo que compartilham um lado. O passo crucial é perceber que esse lado compartilhado é interno ao polígono e não deve ser contado no perímetro, e que o triângulo fornece um lado que precisa ser calculado por Pitágoras.
O que a questão dá
AE = 13 m
DC = 12 m
ABCE é um quadrado
triângulo CDE é retângulo em D
O que queremos: o perímetro do polígono ABCDE
Passo 1 — Identificar os lados do quadrado
O quadrilátero ABCE é um quadrado, e o segmento AE é um de seus lados. Como todos os lados de um quadrado são iguais, podemos determinar os comprimentos de AB, BC e CE a partir de AE.
Por que esta fórmula: Não há fórmula; é a propriedade do quadrado: todos os lados têm a mesma medida.
AB = BC = CE = EA = 13 m
NÃO CAIA NESSA!
Achar que o lado do quadrado é 12 m por causa do DC, mas DC é do triângulo, não do quadrado.
Passo 2 — Reconhecer a hipotenusa do triângulo
O triângulo CDE é retângulo em D, então o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Esse lado é CE, que também é lado do quadrado e mede 13 m. Precisamos disso para aplicar Pitágoras.
Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, a hipotenusa é sempre o lado maior, oposto ao ângulo de 90°. Como o ângulo reto está em D, o lado CE é a hipotenusa.
NÃO CAIA NESSA!
Confundir e achar que DC é a hipotenusa, mas DC é um cateto, pois o ângulo reto está em D.
Passo 3 — Calcular o lado DE por Pitágoras
O triângulo CDE tem dois lados conhecidos: a hipotenusa CE = 13 m e o cateto DC = 12 m. O Teorema de Pitágoras permite achar o terceiro lado, DE, que é necessário para o perímetro.
Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, CE é a hipotenusa, DC e DE são os catetos.
De onde vem cada valor: = passo 2: 13 m · = enunciado: 12 m
NÃO CAIA NESSA!
Usar DE = 6 m por erro de cálculo; lembre-se da tripla pitagórica 5-12-13.
Passo 4 — Somar os lados do contorno
O perímetro do polígono ABCDE é a soma dos lados que formam o contorno externo: AB, BC, CD, DE e EA. O lado CE é interno, pois divide o quadrado do triângulo, e não entra na soma.
Por que esta fórmula: Perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados da figura. Aqui, os lados são AB, BC, CD, DE e EA.
De onde vem cada valor: = passo 1: 13 m · = passo 1: 13 m · = enunciado: 12 m · = passo 3: 5 m · = passo 1: 13 m
NÃO CAIA NESSA!
Incluir o lado CE (13 m) na soma, resultando em 69 m — o erro mais comum.
